Производная сложной функции

Лекция №3.

Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Основные определения.

Опр. 1. Дифференцированием функции называется операция нахождения производной от функции.

Опр. 2. Производной функции y=f(x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю произвольным образом.

f ’(x)=

Замечание: В школе считалось, что производная существует, если этот предел конечен, однако, если lim= , то функция f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Геометрический смысл:

Значение производной f ’(x) при заданном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлении оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M0(x0,y0).

 tg

y

 

 

Механический смысл:

Если зависимость расстояния S движущейся точки от времени t выражается формулой S=f(t), то мгновенная (не путать со средней) скорость в момент времени t выражается формулой:

v=S’(t)= = ,

т.е. скорость равна производной по пути от времени.

Замечание: Экономический смысл производной будет рассмотрен в отедльном параграфе.

 

Односторонние производные.

Опр. 1: Односторонней производной функции f(x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю слева (левосторонняя) или справа (правосторонняя), т.е.

                     

Замечания:

1) Если = , то существует. В противном случае не существует.

Пример: y=|x-1|

x=1 называется угловой точкой.

 

2) Рассмотрим случаи бесконечных односторонних производных

 

 

Таблица производных.

Пример: Вычислить производную функции f(x)=1/  – lnx*cosx+tgx/x^7 +5sinx*5.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

Теорема: Если функция f(x) дифференцируема в (.) x0, то она в этой точке непрерывна.

 

 

Док-во:

Если  , тогда по теореме о пределе

 

 

Производная сложной функции.

Теорема: Пусть дана функция y=f(x) такая, что её можно представить в виде y=F(u), г=  Тогда, если y=F(u) и u=  имеют производные в некоторые точки u т (.) x, то функция  имеет в (.) x производную, которая равна

Или кратко .

 

То есть производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу «и» на производную промежуточного аргумента по x.

 

Доказательство:

Зададим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение  и

 

Таким образом, приращению  соответствует приращение , которое соответствует приращению , которое соответствует приращению , причём при  будет  и .

По условию  по определению предела = , где .

 

.

Разделим все члены равенства .

, и

 

                                                                                              

 - по определению производной.

Отсюда

ч.т.д.

 

Пример: