Розрахунок функції розподілу вхідного та вихідного процесів

За умовою вхідний процес є гауссівським випадковим процесом, тобто його функція розподілу визначається через функцію Лапласа за формулою:

                               (3.1)

 

Для заданих значень математично сподівання і середньоквадратичного відхилення знайдемо функції розподілу і побудуємо графіки:

 

 

1)

2)

 

3)

Знайдемо функцію розподілу вихідного процесу . Для заданої системи зворотною функцією є . Аналізуючи амплітудну характеристику системи (рис. 3.4) розглянемо два інтервали для :

)   При : .

)   При : ,

де

 

Тобто на цьому інтервалі функція розподілу має вигляд:

 

               (3.2)

 

Остаточний вигляд для функції розподілу вихідного процесу:

 

                (3.3)

 

Для заданих значень математичного сподівання і середньоквадратичного відхилення запишемо функції розподілу та побудуємо графіки:

 

1)

2)

 

3)

 

Розрахунок математичного сподівання вихідного процесу

Математичне сподівання вихідного процесу:

                 (4.1)

 

Для гауссівського вхідного процесу:

                                          (4.2)

 

Підставивши (4.2) в (4.1) отримаємо:

 

. Введемо заміну:

. Тоді:

 

Для знаходження інтегралів скористаємося відомим співвідношенням:

 

                               (4.3)

 

Обчислимо значення математичного сподівання вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

 

0,45	0	-0,7975
	1	0,2025
	2	3,2025

 

 

Розрахунок кореляційної функції вихідного процесу

 

Для знаходження кореляційної функції вихідного процесу використаємо формулу:

,                                           (5.1)

де , а , за умовою.

 

Визначимо перші три коефіцієнта розкладу кореляційної функції в ряд. Для цього введемо заміну:

 

.

1)

 

Відомо, що . Тоді:

 

Використовуючи (4.3) отримаємо:

 

2)

 

Відомо, що . Тоді:

 

3)

 

Відомо, що . Тоді:

 

 

 

Наближені вирази для кореляційної функції та її графіки для трьох значень математичного сподівання:

 

1) :

:

 

 

2) :

 

 

Висновки

 

Розраховані практично можливі значення для вхідного і вихідного процесів для трьох значень математичного сподівання:

 

[-1,35; 1,35][-0,35; 2,35][0,65; 3,35]
[-1; 0,8225][-1; 4,5225][-0,5775; 10,2225]

 

Отриманий загальний вираз для функції розподілу вихідного процесу:

 

 

Вираз для обчислення математичного сподівання вихідного процесу:

 

 

Визначені значення для математичного сподівання вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

 

0,45	0	-0,7975
	1	0,2025
	2	3,2025

 

Отримані вирази для перших трьох коефіцієнтів розкладу кореляційної функції вихідного процесу в ряд:

 

 

Наближені вирази для кореляційної функції вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

 

0
1
2

 

 

Література

 

1. Аналіз нелінійного перетворення стаціонарного гауссівського випадкового процесу. Методичні рекомендації до виконання курсової роботи з дисципліни «Теорія процесів та систем. Випадкові процеси» для студентів напрямку підготовки 050803 - Акустотехніка / Уклад.: О. В. Гармаш, Т. А. Горовецька, О. І. Красильніков. - К.: ВЦ «Принт-центр», 2008. - 44 с.

2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. - М.: Сов. Радио, 1982. - 624 с.

.   Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 448 с.

.   Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. Радио, 1974. - 552 с.