2020-09-24
101
Дано:
Шифр периодического сигнала s1 ─ 4 из табл. 3[1];
Рис. 1
После подстановки значений параметров и масштабирования, получаем:
Рис. 2
Длительность периода ─ Т = 0,001 с = 1000 мкс;
Соотношение между периодом и длительностью импульса ─ Т = 3τ
Соотношение параметров цепи и сигнала:
Шифр цепи - 2 из табл. 4[1];
Рис. 3
Значения сопротивлений из табл. 1[1] - R1 = 2R; R2 = R
Задание:
Рассчитать и построить в масштабе АЧХ и ФЧХ интегрирующей и дифференцирующей цепей в диапазоне от нуля до 10 кГц, полагая 
(по шкале абсцисс сделать градуировку частоты в кГц и в безразмерных величинах wtц);
Рассчитать и построить в масштабе переходную и импульсную характеристики цепей от нуля до tmax = 3tц (по шкале абсцисс сделать градуировку времени в мкс и в безразмерных величинах t/tц);
Проверить выполнение предельных соотношений между частотными и импульсными характеристиками.
Рассчитать спектр амплитуд и фаз на выходе заданной цепи при действии периодического сигнала s1(t).
Построить с учетом масштаба на общей спектрограмме спектры амплитуд и фаз входного и выходного сигналов при действии сигнала s2(t).
Дать представление входного сигнала с помощью функций Хевисайда.
Получить динамическое представление отклика заданной цепи на действие сигнала s2(t)(с помощью переходных характеристик).
Изобразить отклик цепи на интервале времени от нуля до tmax, в три раза превышающем длительность воздействия сигнала s2(t).
Сделать выводы по результатам проведенного анализа.
Расчет частотных характеристик интегрирующей и дифференцирующей цепей.
Выполнение пунктов 1-3 задания оформляем в виде таблицы.
Табл. 1 - Анализ дифференцирующей и интегрирующей цепей.
| Дифференцирующая цепь | Интегрирующая цепь |
Рис. 4 
| Рис. 5 | |
 
| |
 
|
Вводим оператор дифференцирования р, такой, что 
|
Передаточный коэффициент цепи:
Передаточный коэффициент цепи:
| |
| Находим комплексный передаточный коэффициент, заменяя р на jw | |
 
| |
После анализа цепей находим частотные характеристики.
Табл. 2 - Частотные характеристики цепей
| Дифференцирующая цепь | Интегрирующая цепь |
| Амплитудно-частотная (АЧХ) | |
 
| |
| Фазочастотная (ФЧХ) | |
 
| |
| f,Гц 0 100 700 2000 5000 10000 w,рад/с 0 628,3 4398,2 12566,4 31415,9 62831,9 wtц,рад 0,000 0,043 0,303 0,866 2,165 4,329 К(w) 0,000 0,262 0,885 0,984 0,997 ~ 1 j(w),рад -1,57 -1,31 -0,48 -0,18 -0,07 ~0 j(w),град -90 -74,8 -27,7 -10,4 -4,2 ~0 | f,Гц 0 100 700 2000 5000 10000 w,рад/с 0 628,3 4398,2 12566,4 31415,9 62831,9 wtц,рад 0,000 0,043 0,303 0,866 2,165 4,329 К(w) 1 0,96 0,46 0,18 0,07 ~ 0 j(w),рад 0,00 -0,27 -1,09 -1,39 -1,50 ~ -1,57 j(w),град 0 -15,2 -62,3 -79,6 -85,8 ~ -90 |
 Рис. 6. АЧХ ДЦ  Рис. 7. АЧХ ИЦ
| |
 Рис. 8. ФЧХ ДЦ  Рис. 9. ФЧХ ИЦ
| |
Расчет временных характеристик дифференцирующей и интегрирующей цепей.
Находим временные характеристики операторным методом, пользуясь значением операторного коэффициента найденного в пункте 1.
Табл. 3 - Временные характеристики цепей
| Дифференцирующая цепь | Интегрирующая цепь |
| Импульсные | |
 
| |
| Переходные | |
 
| |
| t,мкс 0 200 500 700 1000 1298,7 t/ τц 0 0,462 1,155 1,617 2,31 3 h(t) -2310 -1455,3 -727,8 -458,52 -229,29 ~ 0 g(t) 1 0,63 0,32 0,20 0,10 ~ 0 | t,мкс 0 200 500 700 1000 1298,7 t/ τц 0 0,462 1,155 1,617 2,31 3 h(t) 2310 1455,35 727,78 458,52 229,29 ~ 0 g(t) 0 0,37 0,68 0,80 0,90 ~ 1 |
Рис. 10. ИХ ДЦ 
| Рис. 11 ИХ ИЦ |
Рис. 12. ПХ ДЦ 
| Рис. 13. ПХ ИЦ |
Проверка соотношений между частотными и временными характеристиками дифференцирующей и интегрирующей цепей.
Предельные соотношения
Табл. 4 - Предельные соотношения
| Дифференцирующая цепь | Интегрирующая цепь |
 
| |
 
|
Расчет спектра амплитуд и фаз на выходе заданной цепи при действии периодического сигнала s1(t).
По известной формуле из теории четырехполюсников находим передаточный коэффициент заданной цепи:
Находим комплексный передаточный коэффициент, заменяя р на jw
Найдем спектральную плотность непериодического сигнала на входе(s2(t)) и выходе (s2в(t)) цепи, соответствующему периодическому сигналу s1(t) на протяжении одного периода.
Спектральная плотность непериодического сигнала s2(t)(см. к.р.№1):
Спектральную плотность выходного сигнала s2в(t) найдем по формуле:
Учитывая, что
и 
,
а также 
Учитывая, что: 
или 
, получаем:
Спектр амплитуд выходного периодического сигнала s1В(t):
Спектр фаз:
Табл. 6 - Спектры входного и выходного периодического сигналов
| n |    
| |||
| 0 | A0=|ao/2|=0,667 | 1 | A0=|ao/2|=0,667 | 1,04575 |
| 1 | 0,551 | 0 | 0,361 | -0,162 |
| 2 | 0,276 | 0 | 0,130 | -0,152 |
| 3 | 0 | - | 0 | - |
| 4 | 0,138 | -1 | 0,054 | -1,102 |
| 5 | 0,110 | -1 | 0,042 | -1,085 |
| 6 | 0 | - | 0 | - |
| 7 | 0,079 | 0 | 0,029 | -0,063 |
| 8 | 0,069 | 0 | 0,026 | -0,055 |
| 9 | 0 | - | 0 | - |
| 10 | 0,055 | -1 | 0,021 | -1,045 |
Построение спектров амплитуд и фаз входного(s2(t)) и выходного(s2в(t)) непериодического сигналов
В соответствии с пунктом 2, имеем:
Амплитудные спектры
Учитываем, что при w=0
Амплитуда - четная функция частоты
Фазные спектры
Где функция sign(w)=1 при w>0 и sign(w)=-1 при w<0
Фаза - нечетная функция частоты
Табл. 7 - Спектры входного и выходного непериодического сигналов
    
| ||||
| -10 | 0,0276 | 1 | 0,0094 | 1,04575 |
| -9,75 | 0 | - | 0 | - |
| -9,375 | 0,0184 | 0 | 0,0063 | 0,048648 |
| -9 | 0 | - | 0 | - |
| -8,625 | 0,0200 | 1 | 0,0068 | 1,052634 |
| -8,25 | 0 | - | 0 | - |
| -7,5 | 0,0849 | 0 | 0,0294 | 0,059951 |
| -6,75 | 0 | - | 0 | - |
| -6,375 | 0,0270 | 1 | 0,0095 | 1,069491 |
| -6 | 0 | - | 0 | - |
| -5,625 | 0,0306 | 0 | 0,0109 | 0,077593 |
| -5,25 | 0 | - | 0 | - |
| -4,5 | 0,1415 | 1 | 0,0518 | 1,093529 |
| -3,75 | 0 | - | 0 | - |
| -3,375 | 0,0510 | 0 | 0,0199 | 0,115996 |
| -3 | 0 | - | 0 | - |
| -2,625 | 0,0656 | 1 | 0,0275 | 1,135528 |
| -2,25 | 0 | - | 0 | - |
| -1,5 | 0,4244 | 0 | 0,2259 | 0,164845 |
| -0,75 | 0 | - | 0 | - |
| -0,375 | 0,4594 | 1 | 0,4151 | 1,096523 |
| 0 | 0,6667 | - | 0,6667 | - |
| 0,375 | 0,4594 | -1 | 0,4151 | -1,096523 |
| 0,75 | 0 | - | 0 | - |
| 1,5 | 0,4244 | 0 | 0,2259 | -0,164845 |
| 2,25 | 0 | - | 0 | - |
| 2,625 | 0,0656 | -1 | 0,0275 | -1,135528 |
| 3 | 0 | - | 0 | - |
| 3,375 | 0,0510 | 0 | 0,0199 | -0,115996 |
| 3,75 | 0 | - | 0 | - |
| 4,5 | 0,1415 | -1 | 0,0518 | -1,093529 |
| 5,25 | 0 | - | 0 | - |
| 5,625 | 0,0306 | 0 | 0,0109 | -0,077593 |
| 6 | 0 | - | 0 | - |
| 6,375 | 0,0270 | -1 | 0,0095 | -1,069491 |
| 6,75 | 0 | - | 0 | - |
| 7,5 | 0,0849 | 0 | 0,0294 | -0,059951 |
| 8,25 | 0 | - | 0 | - |
| 8,625 | 0,0200 | -1 | 0,0068 | -1,052634 |
| 9 | 0 | - | 0 | - |
| 9,375 | 0,0184 | 0 | 0,0063 | -0,048648 |
| 9,75 | 0 | - | 0 | - |
| 10 | 0,0276 | -1 | 0,0094 | -1,04575 |
Рис. 14 - Амплитудный спектр входного и выходного периодического сигналов.
Рис. 15 - Фазовый спектр входного и выходного непериодического сигналов.
Представление входного непериодического s2(t) с помощью единичной функции s(t) (функции Хевисайда).
Входной сигнал является суммой функций Хевисайда, сдвинутых по временной оси и умноженных на амплитуду сигнала Е.
Рис. 16 - Функции Хевисайда
Динамическое представление отклика заданной цепи на действие сигнала s2(t).
Заданная цепь является суммой интегрирующего и дифференцирующего звеньев.
Находим переходную характеристику заданной цепи
Так как переходная функция является откликом цепи на единичный сигнал, то воспользовавшись линейностью преобразований Лапласа, получаем отклик заданной цепи на непериодический сигнал s2(t).
, где
Динамическое представление отклика:
Табл. 8 - Отклик заданной цепи на действие непериодического сигнала
| t/T | -1/2-0 | -1/2+0 | -1/3 | -1/6-0 | -1/6+0 | 0 | 1/6-0 | 1/6+0 | 1/3 | 1/2-0 | 1/2+0 | 2/3 | 5/6 | 1 | 7/6 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 11/6 | 2 |
 0-0,33307-0,6912-0,84558-0,85702-0,9338-0,9669-0,96935-0,98581-0,9929-0,99343-0,99696-0,99859-0,99935-0,9997-0,99986-0,99994-0,99997-0,99999-1
| ||||||||||||||||||||
 00000,333280,69130,8456270,8570680,9338210,9669050,9693580,9858120,9934310,9969580,9985920,9993480,9996980,999860,9999351
| ||||||||||||||||||||
 0000000-0,33335-0,69133-0,84564-0,85708-0,93383-0,96936-0,98581-0,99343-0,99696-0,99859-0,99935-0,9997-1
| ||||||||||||||||||||
 00000000000,3337290,6915080,8571640,9338650,9693790,9858220,9934350,996960,9985931
| ||||||||||||||||||||
 0-0,33307-0,6912-0,84558-0,52374-0,2425-0,12127-0,44563-0,74332-0,87164-0,54743-0,25347-0,11736-0,05434-0,02516-0,01165-0,00539-0,0025-0,001160
|
Рис. 17 - Изображение входного непериодического сигнала s2 и отклик цепи на него.
Выводы.
Анализ линейной цепи облегчается, тем, что передаточный коэффициент заданной цепи можно представить в виде линейной комбинации передаточных коэффициентов интегрирующей и дифференцирующей цепей.
В этом случае можно достаточно просто находить отклик цепи на сигнал, представляя его как линейную комбинацию откликов элементарных цепей.
При прохождении сигнала через линейную цепь нули и точки экстремума его амплитудного и фазного спектров не меняются. Меняется лишь само значение экстремумов амплитудного спектра.
Представление прямоугольно импульсных сигналов с помощью функции Хевисайда позволяет достаточно просто рассчитать отклик цепи, как линейную комбинацию откликов на единичную функцию включения.
Операторный метод и теория обобщенных функций дает достаточно мощный аппарат для исследования цепей и сигналов.
