Контрольная работа №1
Дано:
Шифр сигнала ─ 4 из табл. 1[1];;
Длительность периода ─ Т = 0,001 с = 1000 мкс;
Соотношение между периодом и длительностью импульса ─ Т = 3τ
Рис. 1 - Периодический сигнал
Задание:
1.Выполнить математическое описание заданного периодического сигнала, изобразить графически 2-3 периода сигнала, указав на рисунке параметры.
Математическое описание заданного периодического сигнала
Рис. 2
В результате подстановки данных варианта получаем униполярные прямоугольные периодические импульсы.
Период сигнала: Т = 0,001 с = 1000 мкс;
Длительность импульса:
τ* = 2τ = 2· Т/3 = ;
Временной интервал между импульсами:
τ = Т/3 = ;
Четная симметрия относительно моментов времени
t = n·T/2, где n = 0,±1, ±2, ±3…;
;
Скважность импульсов:
Анализ временных свойств сигнала и формулировка обоснованных предположений о свойствах и особенностях спектрального состава сигнала.
Сигнал является четной функцией времени
|
|
Сигнал представляет собой знакопостоянную последовательность импульсов. Постоянная составляющая ряда Фурье равна:
В разложении сигнала в ряд Фурье будут присутствовать только косинусоидальные гармонические составляющие, т.е.:
Ряд Фурье можно преобразовать следующим образом:
Вычисление спектров амплитуд и фаз. Характер огибающей спектра амплитуд.
Производим расчет весовых коэффициентов аn:
Амплитуды гармоник
Фазы гармоник
Результаты оформляем в виде таблицы.
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
an | -0,66667 | 0,5513 | 0,2757 | 0 | -0,1378 | -0,1103 | 0 | 0,0788 | 0,0689 | 0 | -0,0551 |
bn | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
An | 0,66667 | 0,5513 | 0,2757 | 0 | 0,1378 | 0,1103 | 0 | 0,0788 | 0,0689 | 0 | 0,0551 |
φn | 0 | 0 | - | -π | -π | - | 0 | 0 | - | -π | |
0,666670,275650,1378500,06890,0551500,03940,0344500,02755 |
Построение оценки сигнала
Для N=4:
Пользуясь четной симметрией сигнала в отрицательном периоде строим график симметрично.
t/T | |||||
0 | -0,66667 | 0,5513 | 0,2757 | -0,1378 | 0,022494 |
0,1 | -0,66667 | 0,4460 | 0,0852 | 0,1115 | -0,02394 |
0,2 | -0,66667 | 0,1704 | -0,2230 | -0,0426 | -0,76191 |
0,3 | -0,66667 | -0,1704 | -0,2230 | -0,0426 | -1,10265 |
0,4 | -0,66667 | -0,4460 | 0,0852 | 0,1115 | -0,91601 |
0,5 | -0,66667 | -0,5513 | 0,2757 | -0,1378 | -1,08016 |
0,6 | -0,66667 | -0,4460 | 0,0852 | 0,1115 | -0,91601 |
0,7 | -0,66667 | -0,1704 | -0,2230 | -0,0426 | -1,10265 |
0,8 | -0,66667 | 0,1704 | -0,2230 | -0,0426 | -0,76191 |
0,9 | -0,66667 | 0,4460 | 0,0852 | 0,1115 | -0,02394 |
1 | -0,66667 | 0,5513 | 0,2757 | -0,1378 | 0,022494 |
Расчет относительного значения среднеквадратической погрешности представления сигнала оценкой из гармонических колебаний.
|
|
Квадрат сигнала численно равен мгновенной мощности, рассеиваемой на сопротивлении нагрузки 1Ом. Средняя мощность сигнала прямо пропорциональна энергии, запасакмой за период и обратно пропорциональна периоду.
Мощность n-ного гармонического сигнала:
Уравнение погрешности представления периодического сигнала усеченным рядом Фурье:
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
An | 0,66667 | 0,5513 | 0,2757 | 0 | 0,1378 | 0,1103 | 0 | 0,0788 | 0,0689 | 0 | 0,0551 |
Pn | 0,4444 | 0,1520 | 0,0380 | 0,0000 | 0,0095 | 0,0061 | 0,0000 | 0,0031 | 0,0024 | 0,0000 | 0,0015 |
PN | 0,4444 | 0,5964 | 0,6344 | 0,6344 | 0,6440 | 0,6500 | 0,6500 | 0,6531 | 0,6555 | 0,6555 | 0,6570 |
d,% | 33,3340 | 10,5367 | 4,8374 | 4,8374 | 3,4051 | 2,4932 | 2,4932 | 2,0279 | 1,6717 | 1,6717 | 1,4438 |
По полученным результатам строим график
Определение комплексной спектральной плотности непериодического сигнала, совпадающего с заданным периодическим на протяжении одного периода в симметричных пределах и равного нулю при других временах.
Рассмотрим непериодический сигнал s1(t), изображенный на рисунке.
Его спектральная плотность
Сигнал s2(t) образован суммой сигналов s1(t), один из которых сдвинут вправо, а другой влево на величину t. Применяя теорему сдвига, получим:
Спектральная плотность - действительная функция частоты, т.к. мнимая составляющая равна нулю. Размерность спектральной плотности - В∙с.
Построение графика модуля спектральной плотности и фазового спектра непериодического сигнала.
Учитывая, что , имеем:
Нули спектральной плотности находим, учитывая, что sin(pk)=0 и cos(p/2+pk)=0, k=0,±1,±2…
По горизонтальной оси откладываем номер гармоники, основной частоты:
Аргумент спектральной плотности будет равен:
00,250,511,51,7522,252,533,53,7544,254,555,55,7566,256,5 | |||||||||||||||||||||
00,3750,751,52,252,62533,3753,754,55,255,62566,3756,757,58,258,62599,3759,75 | |||||||||||||||||||||
-6,6667Е-4-0,00046-3,7E-200,0004243,68E-20-6,6E-05-2,6E-205,1E-051,43E-19-0,00014-3,7E-203,06E-052,6E-20-2,7E-05-3,7E-208,49E-05-6E-20-2E-05-2,6E-201,84E-051,19E-19 | |||||||||||||||||||||
-0,6667-0,45940,00000,42440,0000-0,06560,00000,05100,0000-0,14150,00000,03060,0000-0,02700,00000,08490,0000-0,02000,00000,01840,0000 |
Сопоставление спектров периодического и непериодического сигналов.
Сопоставление спектров произведем на основании соотношения
Сравнение спектров периодического и непериодического сигналов показывает, что гармоники, построенные на частотах, кратных w1, и ограниченные спектральной плотностью непериодического сигнала со значениями Сn на спектральных диаграммах совпадают.
Определение энергии и средней мощности заданного сигнала на участке цепи с сопротивлением 1 Ом.
Определим энергию сигнала по временному представлению.