2020-09-24
251
Доказать, что среди всех четырехугольников с заданными диагоналями и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм. [Учебным пособием являлся учебник «Геометрия» В.Г. Болтянского и И.М. Яглома, задача №55, стр.178]
Решение:
Перенесем четырехугольник ABCD на вектор → AC. Получим четырехугольник ABCD= CB′C′D′, где BB′D′D—параллелограмм, стороны которого равны диагоналям исходного четырехугольника и угол между сторонами равен углу между диагоналями. Периметр четырехугольника равен AB+BC+CD+AD = CD′+BC+CD+B′C. Но BC+CD′> BD′ и B′C+CD > B′D, причем равенства достигаются, только если ABCD—параллелограмм.
Элементарные задачи
Задача 1 (центральная симметрия)
Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данных прямой и окружности делился точкой пополам. [Учебным пособием являлся учебник «Геометрия» В.Г. Болтянского и И.М. Яглома, задача №26, стр.99]
Дано:
Решение:
Пусть m и α — данные прямая и окружность, CD —искомый отрезок, С 
m, D 
а. Тогда f(C) = D. Если f(m) = m1, то D 
m1 и, следовательно, D α 
m1. Отсюда вытекает такое построение: строим образ m1 прямой m при симметрии f, точки D и Е пересечения прямой m1 с данной окружностью α определяют вместе с точкой А искомые прямые DA и ЕА.
|
|
|
Задача 2 (поворот)
Через центр правильного треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 600. Доказать, что пересечение этих прямых с данным треугольником представляет собой два равных отрезка. [ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев, Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. Учреждений]
Дано:
Решение:
1) Рассмотрим поворот f вокруг точки O на 1200.
2) , , ⇒ .
L1 
⇒ и их образы также должны пересекаться, т. е. L2 
,
причем , ⇒ . (1)
Аналогично , ⇒ . (2)
 |
Из (1) и (2) ⇒ (т. к. – движение).
ч. т. д.
Задачи для самостоятельного решения
