Задача 1 (параллельный перенос)

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

[ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев, Геометрия, 7-9:  учеб. для общеобразоват. Учреждений]

Дано:

Окружность с центром О и радиусом R.

Решение:

Пусть O‍₁ —‍ образ центра O‍ окружности S‍ радиуса R‍ при некотором параллельном переносе. Если X —‍ произвольная точка окружности S,‍ а X‍₁ —‍ её образ при данном параллельном переносе, то O‍₁X‍₁ = OX = R.‍ Поэтому образы всех точек окружности S‍ принадлежат окружности S‍₁‍ с центром O‍₁‍ и радиусом R.‍

Обратно, для любой точки Y‍₁‍ окружности S‍₁‍ на окружности S‍ найдётся точка Y,‍ которая при рассматриваемом параллельном переносе перейдёт в точку Y‍₁.‍

 

Задача 2 (осевая симметрия)

Две точки A и B лежат по одну сторону от прямой l. Доказать, что на прямой существует единственная точка M₀, такая, что AM₀ + BM₀ < AM + BM, где M - произвольная точка прямой l, отличная от M₀.. [Учебным пособием являлся учебник «Геометрия» В.Г. Болтянского и И.М. Яглома, задача №34, стр.108]

Дано:

Решение:

Рассмотрим точку  M₀ = AB’  BA’, где f – осевая симметрия относительно l, f(A) = A’,

f(B) = B’.

Пусть M – произвольная точка, тогда BM = B’M, BM₀ = B’M₀ ; AM = A’M, AM₀ = A’M₀.

 

 л. ч.                                                                  .

 

 пр. ч.                                                                 . ч. т. д.

 

Задача 3 (параллельный перенос)

Доказать, что если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный. [ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев, Геометрия, 7-9:  учеб. для общеобразоват. Учреждений]

Дано:

Решение:  

Рассмотрим параллельный перенос  ABC на вектор C₁B₁, в результате получаем f(C)=C’; f(C₁)=B₁. По свойствам движения  <1=<2;<3=<2 (как соответствующие) C₁BC=  B₁CB(по первому признаку неравенства треугольников)  <B=<C  ABC - равнобедренный, ч. т. д.