2020-09-24
193
| Поряд. Фильтра | Rг 1/Rг | C1 L1 | L2 C2 | C3 L3 | L4 C4 | C5 L5 | L6 C6 | C7 L7 |
| 2 | 1,000 | 1,4142 | 1,4142 | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– |
| 3 | 1,000 | 1,0000 | 2,0000 | 1,0000 | ––––– | ––––– | ––––– | –––– |
| 4 | 1,000 | 0,7654 | 1,8478 | 1,8478 | 0,7654 | ––––– | ––––– | ––––– |
| 5 | 1,000 | 0,6180 | 1,6180 | 2,0000 | 1,6180 | 1,6180 | ––––– | ––––– |
| 6 | 1,000 | 0,5176 | 1,4142 | 1,9319 | 1,9319 | 1,4142 | 0,5176 | ––––– |
| 7 | 1,000 | 0,4450 | 1,2470 | 1,8019 | 2,0000 | 1,8019 | 1,2470 | 0,4450 |
Таблица 4.2
Параметры LC-ФНЧ Чебышева с уровнем пульсаций 0,1 ¶Б
| Поряд. Фильтра | Rг 1/Rг | C1 L1 | L2 C2 | C3 L3 | L4 C4 | C5 L5 | L6 C6 | C7 L7 |
| 2 | 1,3554 | 1,2087 | 1,6382 | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– |
| 3 | 1,0000 | 1,4328 | 1,5937 | 1,4328 | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– |
| 4 | 1,3554 | 0,9924 | 0,1476 | 1,5845 | 1,3451 | ––––– | ––––– | ––––– |
| 5 | 1,0000 | 1,3031 | 1,5559 | 2,2411 | 1,5559 | 1,7060 | ––––– | ––––– |
| 6 | 1,3554 | 0,9419 | 2,0797 | 1,6581 | 2,2473 | 1,5344 | 1,2767 | ––––– |
| 7 | 1,0000 | 1,2615 | 1,5196 | 2,2392 | 1,6804 | 2,2392 | 1,5196 | 1,2615 |
Таблица 4.3
Параметры LC-ФНЧ Чебышева с уровнем пульсаций 0,5 ¶Б
| Поряд. Фильтра | Rг 1/Rг | C1 L1 | L2 C2 | C3 L3 | L4 C4 | C5 L5 | L6 C6 | C7 L7 |
| 2 | 1,9841 | 0,9827 | 1,9497 | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– |
| 3 | 1,0000 | 1,8636 | 1,2804 | 1,8636 | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– |
| 4 | 1,9841 | 0,9902 | 2,5864 | 1,3036 | 1,8258 | ––––– | ––––– | ––––– |
| 5 | 1,0000 | 1,8068 | 1,3025 | 3,6914 | 1,3025 | 1,8068 | ––––– | ––––– |
| 6 | 1,9841 | 0,9053 | 2,5774 | 1,3675 | 2,7133 | 1,2991 | 1,7961 | ––––– |
| 7 | 1,0000 | 1,7896 | 1,2961 | 2,7177 | 1,3848 | 2,7177 | 1,2961 | 1,7896 |
|
|
|
Таблица 4.4
Параметры LC – ФНЧ Бесселя
| Поряд. Фильтра | Rг 1/Rг | C1 L1 | L2 C2 | C3 L3 | L4 C4 | C5 L5 | L6 C6 | C7 L7 |
| 2 | 1,0000 | 0,5755 | 2,1478 | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– |
| 3 | 1,0000 | 0,3374 | 0,9705 | 2,2034 | ––––– | ––––– | ––––– | ––––– |
| 4 | 1,0000 | 0,2334 | 0,6725 | 1,0815 | 2,2404 | ––––– | ––––– | ––––– |
| 5 | 1,0000 | 0,1743 | 0,5072 | 0,8040 | 1,1110 | 2,2582 | ––––– | ––––– |
| 6 | 1,0000 | 0,1365 | 0,4002 | 0,6392 | 0,8538 | 1,1126 | 2,2645 | ––––– |
| 7 | 1,0000 | 0,1106 | 0,3259 | 0,5749 | 0,7020 | 0,8690 | 1,1052 | 2,2659 |
В качестве типовой АЧХ выбираем АЧХ фильтра Баттерворта. Тогда по графикам, (рис.3.2а), находим, что на 3 рад затухание не менее 25 ¶Б обеспечивается фильтром третьего порядка. Схема соответствующего нормированного ФНЧ, с учетом данных табл.4.1, представлена на рис.4.3а.
Рассчитаем Kf, переведя при этом Гц в радианы:
Kf = 2p 3000 = 18850.
С учетом заданных сопротивлений источника сигнала (RГ) и
нагрузки (RН) Z = 600. В других случаях Z может быть произвольным, но таким, чтобы обеспечивать требуемое согласование источника и нагрузки, а номиналы емкостей и индуктивностей имели «разумные» значения.
Выполним масштабирование по частоте и импедансу параметров нормированной схемы, используя формулы (4.2):
Искомая схема фильтра показана на рис.4.3б.
4.4. Расчет ФВЧ
|
|
|
Пример7. Требуется ФВЧ, имеющий частоту среза 1000 Гц, а при гарантированном затухании 45 ¶Б – граничную частоту полосы
задержания 350 Гц.
Решение. Расчет ФВЧ должен производиться в следующей последовательности:
1. Нормирование исходных данных для расчета ФВЧ вычислением крутизны его АЧХ AS (раздел 2);
2. Выбор типа и порядка фильтра (разделы 2,3);
3. Преобразование схемы нормированного ФНЧ в схему ФВЧ, для чего в схеме нормированного ФНЧ все конденсаторы заменяются катушками индуктивности с индуктивностями 1/С, а все катушки индуктивности заменяются конденсаторами с емкостью 1/L, т.е.
(4.3)
4. После вычисления частотного масштабного множителя Kf и выбора Z полученный ФВЧ масштабируется по частоте и импедансу.
а б
Рис. 4.3. Синтез ФНЧ (пример 6):
а) нормированный Баттерворта (n = 3),
б) масштабированный по частоте и импедансу
а
б
в
Рис. 4.4. Синтез ФВЧ (пример 7):
а) нормированный Баттерворта (n = 5),
б) нормированный ФВЧ,
в) искомый ФВЧ
Рис. 4.5. Синтез широкополосного ПФ
В соответствии с данным алгоритмом получим схему искомого ФВЧ и номиналы ее элементов.
AS = 1000 / 350 = 2.69
Выберем фильтр Баттерворта. Тогда, согласно рис.3.2а, порядок фильтра n=5.
На рис.4.4 приведена схема нормированного ФНЧ, см. рис.4.2б и табл.4.1.
Осуществим переход от ФНЧ к ФВЧ, см. рис.4.4б:
С1ФВЧ = С5ФВЧ = 1 / 0,618 = 1,618 Ф;
L 2ФВЧ = L 4ФВЧ = 1/1,618 = 0,618 Гн;
C 3ФВЧ = 1/2 = 0,5 Ф.
Перейдем теперь к масштабированию по частоте и импедансу:
Kf = 2p 1000 = 6280. Положим, что Z = 600.
Искомая схема ФВЧ представлена на рис.4.4в.
4.5. Расчет ПФ
Рассмотрим вначале расчет широкополосных фильтров, как наиболее простой случай. Как уже было показано в разделе 2, исходные данные для их расчета легко разделяются на две части, соответствующие ФНЧ и ФВЧ, расчет которых рассматривался в п.4.3. На завершающем этапе синтеза ПФ полученные схемы ФНЧ и ФВЧ включаются последовательно друг с другом, образуя двухкаскадную цепь. Считается, что таким образом требования к широкополосному ПФ оказываются выполненными. Хотя в действительности в подобной схеме могут проявляться некоторые паразитные эффекты, связанные со взаимным влиянием каскадов друг на друга. Обычно они являются незначительными, особенно для ПФ с большим отношением верхней и нижней частот среза полосы пропускания.
Пример 8. Требуется ПФ с нижней и верхней частотами среза полосы пропускания, равными соответственно 1000 и 3000 Гц. Кроме того, ПФ должен обеспечивать подавление сигнала на частоте 350 Гц более 45 ¶Б, а на частоте 9000 Гц - более 25 ¶Б. Источник сигнала и нагрузка имеют полное сопротивление 600 Ом.
Решение. Поскольку отношение FС2 / FС1= 3000 / 1000 больше 1,5, искомый ПФ является широкополосным. Поэтому его расчет можно производить отдельно для ФНЧ и ФВЧ. Разделим исходные данные на 2 части:
для ФНЧ частота среза полосы пропускания равняется 3000 Гц, а граничная частота полосы задержания на уровне 25 ¶Б - 9000 Гц;
для ФВЧ частота среза полосы пропускания составляет 1000 Гц, а граничная частота полосы задержания на уровне 45 ¶Б - 350 Гц.
Сформулированным требованиям удовлетворяют ФНЧ из примера 6 и ФВЧ из примера 7. Таким образом, искомый ПФ получается с помощью последовательного включения фильтров, представленных на рис.4.3б и 4.4в. Искомая схема представлена на рис.4.5.
Если фильтр узкополосный, к нему нельзя применять описанный выше метод расчета. В примере 4 было показано, как АЧХ узкополосного ПФ соотносится с АЧХ ФНЧ. Рассмотрим, как, используя сформулированные в нем правила, можно спроектировать и рассчитать схему полосового фильтра.
|
|
|
Пример 9. Требуется ПФ с центральной частотой 1000 Гц, частотами среза 900 и 1100 Гц и гарантированным затуханием 15 ¶Б на граничных частотах 800 и 1200 Гц. Полное сопротивление источника и нагрузки составляет 600 Ом.
Решение. Алгоритм расчета узкополосного фильтра таков:
1. Нормирование исходных данных в соответствии с правилами, рассмотренными в примере 4;
2. Выбор ФНЧ, удовлетворяющего сформулированным требованиям (рис.3.2);
3. Масштабирование нормированного ФНЧ по частоте и импедансу так, чтобы, во-первых, частота среза его полосы пропускания совпадала с шириной полосы пропускания ПФ, а во-вторых, импеданс равнялся импедансу источника и нагрузки рассчитываемого ПФ;
4. Преобразование схемы масштабированного ФНЧ в схему ПФ, причем так, чтобы ширина его полосы пропускания оказалась равной частоте среза ФНЧ. Это производится следующим образом: в схеме ФНЧ последовательно с каждой катушкой индуктивности подключается конденсатор, а параллельно каждому конденсатору - индуктивность. В результате на месте реактивных элементов в схеме ФНЧ оказывается включенным последовательный или параллельный колебательный контур. При этом параметры этого контура выбираются из условия, чтобы резонансная частота его совпадала с геометрически центральной частотой ПФ F0. Вычисление значений номиналов дополнительных реактивных элементов осуществляется по формулам:
(4.4)
Перейдем теперь к реализации представленного алгоритма. Центральная геометрическая частота:
Определим для каждой из граничных частот ПЗ геометрически сопряженные частоты:
- первая пара
FЗ1 = 800 Гц,
F З2сопр. = 9952 / 800 = 1237 Гц,
FЗ2сопр. - FЗ1 = 1237 - 800 = 437 Гц.
- вторая пара
FЗ2 = 1200 Гц,
FЗ1сопр. = 9952 / 1200 = 825 Гц,
FЗ2 - FЗ1сопр. = 1200 - 825 = 375 Гц.
AS = 375/200 = 1,88
Из рис.3.2а видно, что затухание не менее 15 ¶Б при 1.88 рад обеспечивает фильтр Баттерворта третьего порядка. Схема данного фильтра представлена на рис.4.6а. Выполним масштабирование нормированного ФНЧ по частоте и импедансу так, чтобы его частота среза равнялась ширине ПП требуемого ПФ (200 Гц), а импеданс - необходимому уровню - 600 Ом:
|
|
|
С учетом полученных значений СM и LM схема масштабированного ФНЧ представлена на рис.4.6б.
Найдем параметры дополнительных реактивных элементов в соответствии с (4.4):
Окончательный вариант схемы приведен на рис. 4.6в.
4.6. Расчет РФ
Параметры РФ могут быть получены из рассчитанных схем ФВЧ с частотой среза полосы пропускания, равной ширине полосы требуемого режекторного фильтра.
Пример 10. Требуется РФ, АЧХ которого имеет следующие характерные точки: уровню затухания 3 ¶Б соответствуют частоты 900 и 1100 Гц, а
а б
в
Рис 4.6. Синтез узкополосного ПФ:
а) нормированный ФНЧ,
б) масштабированный ФНЧ,
в) искомый ПФ
а б
в
Рис 4.7. Синтез узкополосного РФ:
а) нормированный ФВЧ,
б) масштабированный ФВЧ,
в) искомый ПФ
гарантированному затуханию 15 ¶Б - 950 и 1050 Гц. Полное сопротивление источника сигнала и нагрузки равняется 1000 Ом.
Решение. Алгоритм синтеза состоит в следующем:
1. Выбор нормированного ФНЧ, определение его порядка и параметров схемы;
2. Преобразование схемы ФНЧ в ФВЧ;
3. Масштабирование ФВЧ по частоте и импедансу так, чтобы его частота среза стала равной ширине полосы искомого РФ, а импеданс соответствовал заданному уровню;
4. Схема масштабированного ФВЧ преобразуется в схему искомого РФ путем подключения к каждому конденсатору параллельной катушки индуктивности, а к каждой индуктивности - последовательного конденсатора. При этом должно соблюдаться условие - резонанс в колебательных системах должен наступать на геометрически центральной частоте F0;
Реализовывая последовательно данный алгоритм, получим схему искомого фильтра.
Определим для каждой из граничных частот ПЗ геометрически сопряженные частоты:
- первая пара
FЗ1 = 950 Гц,
FЗ2сопр. = 9952 / 950 = 1042 Гц,
FЗ2сопр. - FЗ1 = 1042 - 950 = 92 Гц.
- вторая пара
FЗ2 = 1050 Гц,
FЗ1сопр. = 9952/1050 = 943 Гц,
FЗ2 - FЗ1сопр. = 1050 - 943 = 107 Гц.
AS = 200/107 = 1,87
Из рис.3.2а видно, что этим требованиям удовлетворяет фильтр Баттерворта 3-го порядка (рис.4.6а).
Заменяя катушку конденсатором С2ФВЧ = 1 / 2 = 0,5 Ф и конденсаторы - катушками индуктивности L1ФВЧ = L2фвч = 1 / 1 = 1 Гн, получим
схему ФВЧ (рис.4.7а).
Kf = 1257
L1M = L3M = 1000 / 1257 = 0,796 Гн
Схема масштабированного ФВЧ приведена на рис.4.7б.
Схема искомого РФ представлена на рис.4.7в.
5. РАСЧЕТ АКТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
В данном разделе рассматривается расчет активных фильтров (АФ), построенных на операционных усилителях. Поскольку в активных фильтрах полностью исключается использование катушек индуктивности, это позволяет обеспечить уменьшение их стоимости и ограничить размеры, особенно на низких частотах.
Необходимый порядок АФ может быть получен последовательным соединением типовых каскадов 2-го и 3-го порядка (рис.5.1). Если порядок АФ n - четное число, то используется n/2 каскадов 2-го порядка. Если же n - нечетное число, то используется (n-2)/2 каскадов второго порядка и один каскад 3-го порядка.
Каждый отдельный каскад имеет единичное усиление, а очень малое выходное сопротивление операционных усилителей позволяет осуществлять непосредственное соединение каскадов. Номиналы элементов схем некоторых АФ представлены в табл.5.1.
5.1. Расчет ФНЧ
Пример 11. Требуется активный ФНЧ с частотой среза полосы пропускания 100 Гц и гарантированным затуханием 50 ¶Б на граничной частоте 300 Гц.
Решение. Для расчета требуемого АФ необходимо осуществить следующие операции:
1. Нормировать исходные данные посредством вычисления крутизны AS
его АЧХ;
2. Выбрать соответствующий фильтр по графикам, представленным на рис.3.2;
3. Составить схему АФ, осуществив стыковку необходимого числа каскадов;
4. Масштабировать выбранный нормированный ФНЧ по частоте и импедансу.
AS= 300 / 100 = 3
Выбираем фильтр Баттерворта 5-го порядка (рис.3.2). Схема нормированного АФ представлена на рис.5.2а.
Пусть Z = 104 , Kf = 2p×100 = 628, тогда после пересчета номиналов элементов схемы (рис.5.2а) в соответствии с выражениями (4.2) получим схему искомого фильтра (рис.5.2б).
5.2. Расчет ФВЧ
Пример 12. Требуется ФВЧ с частотой среза 1000 Гц и гарантированным затуханием 45 дБ на частоте 350 Гц.
Решение. Алгоритм расчета фильтра заключается в следующем:
1. Нормирование исходных данных для ФВЧ;
2. Выбор АЧХ фильтра и определение его порядка;
Таблица 5.1
