Простейшие способы интегрирования

Непосредственное интегрирование.

Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынте­грального выражения к табличной форме. Пример: Вычислить ∫ (2х³ -Зх² +2x-7)dx.

В данном примере под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма функций. Согласно свойству 5 неопределенного интеграла,

Последовательно применяя свойство 4 неопределенных интегралов и основные формулы интегрирования, получаем:

Интегрирование подстановкой (заменой переменной).

Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.

Пример: Вычислить

Решение: введем подстановку х³+5 = t. Продифференцируем левую часть подстановки по х, а правую по t.

(х³+5)^/ dx =dt; 3x²dx = dt; следовательно х²dx = .

Тогда  = . Подставляя вместо t его значение х³+5, получим:

 =

Интегрирование но частям.

Если u = u(x) vi v = v(x) - дифференцируемые функции, то фор мула интегрирования по частям имеет вид:

Способ интегрирования по частям применяется в том случае, когда интеграл в правой части формулы более прост для вычисления, чем исходный

Пример: Вычислить

Решение: обозначим lnx через u, тогда xdx = dv. Находим:

du = d(lnx) = (lnx)^/, dx = dv/x,

Используя формулу интегрирования по частям, получаем:

 =