Значения энергии квантовой частицы в ящике

Какой энергией может обладать квантовая частица в ящике нанометровых размеров? На этот вопрос можно ответить без сложных расчётов, но сначала нам нужно вновь вернуться к волнам. В главе 6 мы говорили о волновых функциях свободных частиц. Волновая функция свободной частицы с определённым импульсом p   — это волна, которая простирается по всему пространству. Таким образом, электрон с идеально определённым импульсом — это делокализованная волна, охватывающая всё пространство. Вероятность обнаружить свободный электрон всюду одинакова. Такой электрон обладает чётко определённой кинетической энергией E  _k=½ m ∙ V  ², поскольку имеет чётко определённый импульс p  = m ∙ V  .

Электрон в нанометровой коробке подобен нашей свободной частице в том, что касается внутренней области коробки, где Q  =0. Внутри коробки отсутствует потенциал, а значит, нет и действующих на частицу сил. В этом отношении она очень похожа на свободную частицу, на которую тоже не действуют никакие силы. Однако есть важное различие между частицей в коробке и свободной частицей — это стенки ящика. Электрон в ящике находится только внутри ящика. Идеальный характер ящика не позволяет его волновой функции распространиться на всё пространство. Частица находится внутри ящика и никогда не может оказаться снаружи. Волновая функция задаёт амплитуду вероятности обнаружить частицу в некоторой области пространства. Это борновская интерпретация волновой функции. Если наш электрон может быть обнаружен только внутри ящика и никогда снаружи, то вероятность его обнаружения в ящике должна быть конечной, а вовне — нулевой. Если вероятность найти частицу вне ящика равна нулю, то и волновая функция должна быть равна нулю во всех точках вне ящика.

Итак, мы пришли к выводу, что волновая функция частицы в ящике подобна волновой функции свободной частицы, но волновая функция должна быть равна нулю вне ящика. В своей интерпретации природы квантовомеханической волновой функции Борн наложил некоторые физические ограничения на форму, которую может принимать волновая функция. Одно из них состоит в том, что хорошая волновая функция должна быть непрерывной. Это условие означает, что волновая функция должна плавно меняться от места к месту. Бесконечно малое изменение положения не может приводить к неожиданному скачку вероятности. Это очень простая мысль. Если вероятность обнаружить частицу в некоторой очень малой области пространства составляет, например, 1 %, то смещение на невообразимо малую величину не может вдруг сделать вероятность обнаружения частицы равной 50 %. Это ясно по изображениям волновых пакетов на рис. 6.7. Вероятность плавно меняется от места к месту. Это позволяет нам кое-что добавить к описанию волновых функций частицы в ящике помимо того факта, что они являются волнами с конечными амплитудами внутри ящика и нулевой амплитудой вовне. Поскольку волновая функция должна быть непрерывной, непосредственно у стенки ящика с внутренней стороны она должна иметь нулевую амплитуду, чтобы совпадать с нулевой амплитудой волновой функции вне ящика.

На рис. 8.3 показан (запрещённый) разрыв волновой функции внутри ящика. Волновая функция обозначена φ (греческая буква «фи»). По вертикальной оси отложена амплитуда волновой функции. Штриховой линией показан её нулевой уровень. Волновые функции, представляющие собой волны амплитуды вероятности, могут колебаться между положительными и отрицательными значениями. Волновая функция, представленная на рис. 8.3, имеет возле стенок значения, отличные от 0. Однако волновая функция должна быть нулевой вне ящика, то есть для значений x   меньше 0 и больше L   она должна быть равна нулю. На рисунке волновая функция неожиданно перескакивает от ненулевого значения у стенки внутри ящика к нулевому значению сразу за стенкой вне ящика. Таким образом, волновая функция, изображённая на рис. 8.3, не является допустимой, поскольку она не является непрерывной. Эта функция не может представлять квантовую частицу в ящике.

Рис. 8.3. Разрывная волновая функция внутри ящика. Волновая функция обозначена φ. По вертикальной оси отложена амплитуда волновой функции. Штриховой линией показано, где волновая функция обращается в нуль; это значение она должна иметь вне ящика. Волновая функция имеет ненулевое значение у стенок внутри ящика и затем должна скачкообразно (негладко) стать равной нулю вне ящика