Частица в ящике — квантовый случай

Что изменится, если теперь мы перейдём к рассмотрению квантового ракетбола? Площадка остаётся идеальной, но теперь её длина не 12 м, а 1 нм (10^−9 м). Кроме того, частица обладает массой электрона, равной 9,1∙10^−31 кг, а не 0,04 кг. Таким образом, это задача о квантовой частице в ящике.

Сразу можно сказать, что наименьшая энергия квантовой частицы в ящике нанометрового размера не может быть нулевой. На классической ракетбольной площадке возможна скорость мяча V  , равная нулю, а значит, нулевым может быть и импульс p  = m  ∙ V  . Кроме того, положение мяча x   имеет чётко определённое значение. Например, мяч может лежать неподвижно (V  =0) точно посередине площадки, что соответствует x  = L  /2. В таком случае для нашего классического ракетбольного мяча ∆ p  =0 и ∆ x  =0. Значение произведения ∆ x  ∙∆ p  =0 не соответствует принципу неопределённости Гейзенберга, что нормально, поскольку речь идёт о классической системе. Однако абсолютно малая частица в ящике нанометрового размера является квантовым объектом и должна подчиняться принципу неопределённости, утверждающему, что ∆ x  ∙∆ p  ≥ h  /4π. Если V  =0 и x  = L  /2, то мы знаем одновременно x   и p  , а значит, ∆ x  ∙∆ p  =0, как в классическом ракетболе. Для квантовой системы это невозможно. Таким образом, V   не может быть равно нулю. Частица не может неподвижно пребывать в заданной точке. А если значение V   ненулевое, то и значение E  _k не может быть равно нулю. Принцип неопределённости говорит, что наименьшая энергия нашего квантового ракетбольного мяча не может быть нулевой. Квантовый мяч никогда не пребывает в неподвижности.