Значения энергии квантуются

 

Теперь мы определим возможные значения энергии, которой может обладать абсолютно малая частица в ящике. Классический мяч на ракетбольной площадке может иметь любую энергию, то есть набор её возможных значений непрерывен. Определить, какой энергией может обладать такая частица, как электрон в крошечном ящике, можно, опираясь на правило для возможных значений длины волны λ  =2 L  / n   амплитуды вероятности в этом ящике (см. рис. 8.4). Слово «крошечный» означает здесь, что ящик мал в абсолютном смысле, то есть длина волны сопоставима с его размерами. Нам также понадобятся несколько других физических соотношений, которые уже встречались нам ранее, а именно: соотношение для длины волны де Бройля p  = h  / λ  , где p   — импульс, а h   — постоянная Планка; формула для импульса p  = m  ∙ V  , где m   — масса частицы, а V   — её скорость; выражение для кинетической энергии частицы

E  =½ m  ∙ V  ².

 

Давайте объединим эти формулы.

Первым делом возведём в квадрат величину p  :

p  ²= m  ²∙ V  ².

Если теперь разделить обе части уравнения на 2 ∙   m  , то в правой части получим кинетическую энергию

½ m  ∙ V  ²,

а в левой части —

p  ²/2∙ m  .

 

Отсюда следует выражение для кинетической энергии:

E  = p  ²/2 ∙m  .

Используя соотношение де Бройля, можно получить выражение: p  ²= h  ²/ λ  ². Подставляя его в выражение для энергии, получаем:

E  = h  ²/2 ∙m∙λ  ².

Наконец, применим наше правило λ  =2 L  / n   для возможных значений длины волны. Из него следует: λ  ²=4 L  ²/ n  ². Подставив это выражение в формулу для энергии, находим:

E  = n  ² h  ²/8 ∙m∙λ  ²,

где n   принимает любые целые значения: 1, 2, 3 и т. д. Целочисленная величина n   называется квантовым числом.

Мы получили очень важный результат: значения энергии абсолютно малой частицы в абсолютно малом ящике. Этот результат очень тесно связан с поведением электронов в атомах и молекулах. Как видно из формулы, набор возможных значений энергии не непрерывен, поскольку n   может принимать только целочисленные значения; другие величины, входящие в формулу, для конкретной системы являются константами. Мы будем говорить, что энергия квантуется, то есть она может принимать лишь некоторые значения, определяемые физическими свойствами системы и квантовым числом.

 

Дискретный набор энергетических уровней

 

Существует дискретный набор энергетических уровней для данных значений массы m   и размера ящика L  . Поскольку квантовое число n   принимает значения 1, 2, 3 и т. д., соответствующие значения энергии будут равны

h  ²/8 ∙m∙L  ², 4∙ h  ²/8 ∙m∙L  ², 9∙ h  ²/8 ∙m∙L  ², и т. д.

 

 

Рис. 8.6. Энергетические уровни частицы в ящике. Здесь n — квантовое число, а E — энергия, которая увеличивается как квадрат квантового числа. Энергия выражена в единицах h  ² /8 ∙ m∙L  ², так что хорошо видно, как она возрастает. Штриховой линией обозначена нулевая энергия. Самый низкий энергетический уровень не совпадает с линией E  = 0 в отличие от случая классической частицы в ящике

 

На рис. 8.6 представлена диаграмма энергетических уровней для первых нескольких значений энергии частицы в ящике. Энергия выражена в единицах h  ²/8 ∙   m∙L  ². Чтобы получить фактическое значение энергии, нужно просто подставить конкретные значения m   и L   в формулу для энергетических уровней. На диаграмме видно, что энергия увеличивается как квадрат квантового числа n  . Штриховой линией обозначено, где энергия равна нулю. Квантовая частица в ящике на наинизшем энергетическом уровне имеет ненулевую энергию, чем резко отличается от классической частицы в ящике. На классической ракетбольной площадке энергия, которой может обладать мяч, непрерывна. Ударяя по мячу чуть сильнее или чуть слабее, его энергию можно увеличить или уменьшить на любую величину. Однако в квантовом ракетболе возможны лишь отдельные значения энергии, показанные на рис. 8.6. Как отмечалось в начале нашего разговора о квантовой частице в ящике, наименьшая энергия не равна нулю. Если бы квантовая частица в ящике могла иметь нулевую энергию, это нарушало бы принцип неопределённости.

 

Связь результатов для частицы в ящике с реальными системами

 

Частица в ящике — это очень простая иллюстрация общего свойства абсолютно малых систем. Энергия таких систем не обязательно непрерывна. Частица в ящике не является физически реализуемой системой, поскольку она одномерна и окружена «идеальными» стенками. Однако атомы и молекулы — реальные системы. Энергетические уровни атомов и молекул исследовались очень подробно, а их квантованные энергетические уровни измерялись экспериментально и рассчитывались теоретически. Подобно тому как энергетические уровни частицы в ящике зависят от свойств системы (массы частицы и длины ящика), энергетические уровни в атомах и молекулах зависят от свойств этих атомов и молекул.