Область значения функции

С какими свойствами функций знакомятся учащиеся в основной школе? В каком классе это происходит? Разработайте методику изучения одного из них на основе проблемного метода в обучении математики.

Понятие функции ‒ центральное в функционально-графической линии. Существуют различные мнения по месту введения формулировки определения в структуре курса алгебры. Одни считают, что логичнее определение дать сразу же при первом появлении понятия, т. к. трудно сформулировать ясное представление о понятии функции без четкой формулировки, выделяющей существенные признаки. Другие предлагают ввести формальное определение только тогда, когда учащиеся приобретут достаточный опыт работы с конкретными функциями, а поначалу ограничиться описанием, не требующим заучивания. Но все убеждены в том, что определить функцию или функциональную ситуацию нужно в основной школе. Однако формулировки определений различаются. Считается, что родовое понятие и соответствующая терминология, используемая в определении функции, должны быть понятны ученикам и не требовали предварительных громоздких рассмотрений на данном этапе изучения. Информация, содержащаяся в определении, должна быть не только научной, но и отвечать возрастным особенностям учащихся. Последнее нарушалось при теоретико-множественной трактовке понятия функции уже в 6-м классе (ныне это 7-й класс) в учебнике Ю. Н. Макарычева и др. (1970 г.)

В методике изучения функций основное ‒ сочетание графического и аналитического методов исследования, которое позволяет содействовать гармоничному развитию мышления учащихся, активизируя оба полушария головного мозга: и правое, отвечающее за образы, и левое, отвечающее за логические рассуждения. Соотношение их определяет уровень строгости изложения функционального материала. Повышение уровня строгости возможно за счет усиления роли аналитического метода исследования. Однако с этим спешить не надо. В основной школе именно график позволяет «открывать» свойства изучаемой функции и запоминать их

Существенной особенностью изучения функционального материала является постепенное введение общефункциональных свойств по мере готовности учащихся воспринять соответствующую информацию. Введение того или иного свойства происходит в связи с изучением конкретных видов функций, в поведении которых оно наиболее проявляется. Соответствующее свойство функции может предъявляться на различных уровнях строгости: наглядно-интуитивном, словесно-описательном, формальном (со строгим определением). Учащиеся последовательно переходят с низшего уровня на более высокий в процессе изучения функций в основной и старшей школе.

Общие свойства функций, изучаемых в 9-летней школе.

Область определения и область значений.. Её изучение начинается в 7-м классе, как правило, дети не вникают в определение.

 Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

3. Е (у)=(∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

2. Нули функции. Изучение начинается в 7-м классе Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Решение:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

3x=-15; x= -5.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

Ответ:x= -5.

· 3. Интервалы знакопостоянства. 8 класс.Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.

Например,

 

4. Четность, нечетность. 9 класс. Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство
f(-x) = f(x).

четные функции: y = / x / , y = x², y = cos x

График четной функции симметричен относительно оси OY.

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство
f(-x) = - f(x).

нечетные функции: y = 1/x, y = x³, y = sin x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arctg x

5. Монотонность (большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Монотонная функция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает.

Функция y=f(x)y=f(x) называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

f(x)↑:x1<x2⇒f(x1)<f(x2)f(x)↑:x1<x2⇒f(x1)<f(x2)

6. Наибольшее и наименьшее значение.Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

7. Выпуклость графика^. Функция y = f (x) называется выпуклой вверх (вниз) на интервале (a, b), если для и , выполняется условие:

- вверх,

- вниз.

Схема изучения конкретной функции в основной школе

1. Рассматривается конкретная ситуация, математической моделью которой является данная функция.

2. Даётся определение, вводится аналитическая запись функции, исследуются входящие в формулу параметры.

3. Строится график функции, рассматривается влияние параметров на ее графическое изображение.

4. Выводятся основные свойства данной функции.

5. Организуется работа по использованию свойств функции при решении задач.