2020-09-24
82
Дано: Е1= 40 В, Е2 = 60 В, R1 = 18 Ом,
R2 = 36 Ом, R3 = 16 Ом, R4 = 24 Ом,
R5 = 40 Ом, R6 = 34 Ом, r01 = 2 Ом, r02 = 4 Ом.
Для данной электрической цепи выполнить следующее:
1) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод узловых и контурных уравнений;
2) составить баланс мощностей для заданной схемы.
1) Составляем систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.
При расчете данным методом произвольно задаем в ветвях направление токов I 1, I 2, I 3, I 4, I 5.
Составляем систему уравнений, применяя законы Кирхгофа. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов).
В заданной цепи пять ветвей, значит, в системе должно быть пять уравнений (m = 5). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с n узлами можно составить (n – 1) независимых уравнений. В расчетной цепи три узла (А, В, С), значит число уравнений: n – 1 = 3 – 1 = 2. Составляем два уравнения для любых двух узлов, например, для узлов В и С:
узел В: I 1 + I 2 = I 4,
узел С: I 3 +I 5 = I 2.
Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уравнения уже представлены. Три недостающих составляем для линейно-независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.
Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.
Контур АДСВА – обход по часовой стрелке:
Е2 – Е1 = I2(R2 + r02) – I1(R1 + r01) + I3(R3 + R6).
Контур АВА'А – обход по часовой стрелке:
E1 = I1(R1 + r01) + I4R5.
Контур А'СВА' – обход против часовой стрелки:
Е2 = I2(R2 + r02) + I4 ∙R4 + I5∙R5.
ЭДС в контуре берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает, то со знаком «–». Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком «+», если направление тока в нем совпадает с обходом контура, если не совпадает, то со знаком «–».
Получили систему из пяти уравнений с пятью неизвестными:
I4 = I1 + I2
I2 = I3 + I5
E2 – E1 = I2(R2 +r02) + I3(R3 + R6) – I1(R1 + r01),
E1 = I1(R1 + r01) + I4R4,
E2 = I2(R2 + r02) + I4R4 + I5R5
Решив систему уравнений, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.
Подставив значения, получим систему уравнений:
I1 + I2 – I4= 0
I3 + I5 – I2 = 0
20 = 40I2 + 50I3 – 20I1,
40 = 20I1 + 24I4,
60 = 40I2 + 24I4 + 40I5
На основе данной системы уравнений составляем матрицу:
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | b | ||||||||
| 1 | 1 | 0 | –1 | 0 | 0 | ||||||||
| 0 | –1 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||||
| –20 | 40 | 50 | 0 | 0 | 20 | ||||||||
| 20 | 0 | 0 | 24 | 0 | 40 | ||||||||
| 0 | 40 | 0 | 24 | 40 | 60 | ||||||||
Данную матрицу можно решить различными способами – методом Крамера или методом Гаусса.
В результате решения матрицы получаются следующие решения:
при x1 = 0,6243 = I1, при x2 = 0,5221 = I2, при x3 = 0,2320 = I3, при x4 = 1,1464 = I4, при x5 = 0,2901 = I5.
Если при решении системы ток получается со знаком «–», значит его действительное направление обратно тому направлению, которым изначально задались.
2) Составляем баланс мощностей для заданной схемы. Источники E1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию (работают в режиме генератора), так как направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:
E1∙I1 + E2∙I2 = I12(R1 + r01) + I22(R2 + r02) + I32(R3 + R6) + I42∙R4 + I52∙R5.
Подставляем числовые значения и вычисляем:
40∙0,624 + 60∙0,522 = 0,6242∙(18 + 2) + 0,5222∙(36 + 4) + 0,2322(16 + 34) + + 1,1462∙24 + 0,2902∙40;
56,280 Вт = 56,262 Вт.
С учетом погрешности расчетов баланс мощностей сошелся.
Приложение 3
