Уравнение теплового баланса

При расчете тепловых процессов КА обычно используется метод сосредоточенных параметров. Сущность данного метода состоит в следующем: моделируемый объект разбивается на отдельные дискретные элементы таким образом, что температуру каждого элемента в некотором приближении можно считать однородной и изменяющейся только со временем. Эти элементы называются узлами. Каждый узел состоит из одной или нескольких поверхностей с заданными коэффициентами поглощения солнечного излучения A_S и степенями черноты e, описывающими их радиационные свойства.

Математическая модель объекта строится как система уравнений теплового баланса для каждого узла и включает тепловые потоки к узлу от лучистого и кондуктивного теплообмена его с другими узлами, потоки от тепловыделяющего оборудования, нагревателей системы терморегулирования и от внешнего окружения (Земли и Солнца) [5]. Так как конвективный теплообмен в орбитальных условиях отсутствует, то система дифференциальных уравнений, описывающая тепловую математическую модель объекта, имеет вид

где t – время; N – число узлов; i – номер узла; ,   – температура и теплоемкость i-го узла; a_ij, b_ij – термические проводимости и коэффициенты лучистой термической связи между i-м и j-м узлами соответственно; T_k,non­, N_non, a_ik,non – температуры немоделируемых объектов, их количество и кондуктивные связи с расчетными узлами; T_space – температура открытого космоса;  – внешние тепловые потоки от Земли и Солнца, поглощенные поверхностью i-го узла;  – тепловые потоки к i-му узлу от тепловыделяющего оборудования и СОТР КА.

Так как основные законы лучистого теплообмена справедливы для замкнутой системы поверхностей, в математическую модель введен дополнительный нерасчетный узел «космос» с фиксированной температурой T_space, представляющий собой сферу с абсолютно черной внутренней поверхностью, которая содержит геометрическую модель КА.

В уравнении теплового баланса для КА  являются кондуктивными членами, остальные члены отвечают за лучистый теплообмен. Таким образом, теплообмен в КА можно назвать лучисто-кондуктивным.

В большинстве задач рассматривается только лучистый теплообмен между деталями, поскольку он намного больше кондуктивного. Так происходит из-за того, что в членах, отвечающих за кондуктивность количество энергии зависит от разности температур в 1 степени, а в членах, отвечающих за лучистый теплообмен – в 4. Однако, если разница температур будет близка к единице, то теплообменом теплопроводностью нельзя будет пренебречь.

Базовым инструментом расчета лучистого теплообмена является безразмерный угловой коэффициент F_ij, который описывает долю теплового потока, излученного с i-й поверхности площадью S_i и попавшего на j-ю поверхность площадью S_j для случая абсолютно черных поверхностей. Коэффициент рассчитывается следующим образом

где r_ij - расстояние между элементарными площадками dS_i и dS_j;  и  – углы между направлениями внешних нормалей к площадкам и отрезку r_ij, соединяющим центры элементарных площадок.

Задача: рассчитать угловой коэффициент для 2-х смотрящих друг на друга прямоугольных площадок размерами 1 метр на 1 метр. Температура одной поддерживается 0 ⁰ С, другой 100 ⁰ С. Степени черноты у обоих = 0.9. Посчитать поток излучением от более горячей к более холодной. Соединить их стальной 12X18H10T штангой (стержнем) диаметром 5 см. Коэффициент теплопроводности взять средний для температур 0 ⁰ С и 100 ⁰ С. Далее увеличить температуру второй площадки до 1000 ⁰ С, снова пересчитать оба значения.

Решение:

Поскольку углы между направлениями внешних нормалей к площадкам и отрезку, соединяющим центры элементарных площадок равны 0, то

Пусть расстояние между площадками 1 м, тогда

Далее найдём тепловой поток горячей площадки

Из него на вторую пластину попадет и поглотиться

поскольку степень черноты и коэффициент поглощения поверхности – тождественные величины при одной и той же температуре этой поверхности и учитывая уравнение теплового баланса.

Соединим площадки стальной штангой. Теплопроводность штанги при 100 ⁰ С  при 0 ⁰ С . Оценим тепловой поток через штангу:

Видно, что кондуктивный теплообмен через штангу во много раз меньше, чем лучистый из-за степени в разнице температур, как уже отмечалось ранее.

Теперь повысим температуру горячей площадки до 1000 ⁰ С.

Тогда холодной поглотиться  за счет лучистого теплообмена и через штангу.