Варианты индивидуальных заданий

1. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус R и высоту H.

2. Найти массу стержня длины l =100 см, если линейная плотность стержня на расстоянии   х см от одного из его концов равна d = 2 + 0,001 .

3. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если сила в 1 H растягивает ее на 1 см?

4. Скорость точки меняется по закону V = 100 + 8 t  (где V выражается в м/с). Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени [0;10]?

5. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из полусферического котла, имеющего радиус R.

6. Два электрических заряда  находятся на оси ОХ соответственно в точках см. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместить в точку  см?

7. Вычислить кинетическую энергию диска массой М и радиуса R, вращающегося с угловой скоростью w около оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости.

8. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз, радиус основания которого равен R и высота H.

9. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 4 м и радиусом r = 2 м (r = 900 кг/м³), на стенки бака на глубине 3 м.

10. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого конуса массы М, вращающегося с угловой скоростью w около своей оси, если радиус основания конуса R, а высота Н.

11. Вертикальный треугольник с основанием b и высотой h погружен в воду вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности воды. Найти силу давления воды.

12. Водопроводная труба имеет диаметр 6 см; один конец ее соединен с баком, в котором уровень воды на 1 м выше края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти силу давления на заслонку.

13. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V ₀, без учета сопротивления воздуха, дается формулой V = V ₀ – g t, где t –  протекшее время и g – ускорение силы тяжести. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t секунд  от момента бросания?

14. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить давления воды на плотину, если известно, что верхнее основание плотины a = 70 м, нижнее основание b = 50 м, а высота плотины
h = 20 м.

15. При установившемся ламинарном течении жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость течения v в точке, находящейся на расстоянии r от оси трубы, дается формулой  где m – коэффициент вязкости, p – разность давлений на концах трубы, l – длина трубы. Определить расход жидкости Q, т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени.

16. Скорость движения точки V = t e ^{–0.01 t}. найти путь, пройденный точкой от начала до полной остановки.

17. Найти работу, совершенную при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а, радиус r.

18. Электрический заряд q ₁, сосредоточенный в начале координат, отталкивает заряд q ₂ из точки (a; 0) и (b; 0). Определить работу силы отталкивания F.

19. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус с радиусом основания R и высотой H, погруженный в воду вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности воды.

20. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила в 1 кг растягивает ее на 1 см?

21. При установившемся ламинарном течении жидкости через трубу прямоугольного сечения, причем основание а велико по сравнению с высотой 2 b. Скорость течения v в точке М (х, у) определяется формулой  где m – коэффициент вязкости, p – разность давлений на концах трубы, l – длина трубы. Определить расход жидкости Q, т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени.

22. Найти массу стержня длины l =1 м, если линейная плотность стержня меняется по закону d = 20 x + 0,15  где x – расстояние от одного из концов стержня, в м; d – в кг/м.

23. Найти силу давления на пластинку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями а и b и высотой h, погруженную в воду на глубину с.

24. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V ₀, c учетом сопротивления воздуха, дается формулой V = c tg {(- g t)/ c + arctg(V ₀ / c)}, где t – протекшее время,
g – ускорение силы тяжести и с – постоянная. Найти высоту поднятия тела.

25. Вычислить кинетическую энергию однородного круглого цилиндра плотности d с радиусом R и высотой   h, вращающегося с угловой скоростью w вокруг его оси.

26. Скорость точки изменяется по закону V = 2 (6 – t) (где V выражается в м/с). Каково наибольшее удаление точки от начала движения?

27. Какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из цилиндрического котла, наполненного до половины, если ось котла горизонтальна, радиус сечения R = 1 м, длина котла 3 м и воду надо поднять до верхней образующей котла?

28. Скорость тела дается формулой V = 2 t ² м/сек. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения.