2020-09-24
88
Задания
1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
1) в прямоугольных координатах;
2) кривая задана в параметрическом виде;
3) в полярных координатах.
2. Найти длину дуги плоской кривой, заданной:
1) в прямоугольных координатах;
2) в полярных координатах.
3. Найти объем тела, образованного при вращении фигуры, ограниченной данными кривыми.
Вариант 1
1. 1) 
. 2) 
. 3. 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси 
.
Вариант 2
1. 1) 
. 2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси 
.
Вариант 3
1. 1) 
. 2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 4
1. 1) 
. 2) 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 5
1. 1) 
. 2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, отсеченной осью .
2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 6
1. 1) 
. 2) 
, 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 7
1. 1) 
. 2) . 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 8
1. 1) 
. 2) 
, 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 9
1. 1) 
. 2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 10
1. 1) 
. 2) 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
.
3. 
, вокруг оси 
.
Вариант 11
1. 1) 
. 2) , 
.
3) 
.
2. 1) 
, отсеченной прямой 
.
|
|
|
2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 12
1. 1) 
. 2) 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
.
2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 13
1. 1) 
.
2) 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 14
1. 1) 
.
2) 
.
3) 
.
2.1) 
, 
. 2) 
, .
3. 
, вокруг оси .
Вариант 15
1. 1) 
.
2) 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси 
.
Вариант 16
1. 1) 
.
2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, отсеченной прямой 
.
2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 17
1. 1) 
.
2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
.
3. 
, вокруг оси 
.
Вариант 18
1. 1) 
.
2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, .
3. 
, вокруг оси .
Вариант 19
1. 1) 
.
2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 20
1. 1) 
.
2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 21
1. 1) 
.
2) 
, 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, .
3. 
, вокруг оси .
Вариант 22
1. 1) 
.
2) 
, . 3) 
.
2. 1) 
, 
.
2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 23
1. 1) 
.
2) 
, 
. 3) 
.
2. 1) 
, отсеченной прямой 
. 2) 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 24
1. 1) 
.
2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, 
. 2). 2) 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 25
1. 1) 
.
2) 
. 3) 
.
2. 1) 
, от 
до 
. 2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 26
1. 1) 
. 2) 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
.
3. 
, вокруг оси .
Вариант 27
1. 1) 
.
2) 
.
3) 
.
2. 1) 
, 
. 2) 
, .
3. 
, вокруг оси .
Вариант 28
1. 1) 
.
2) 
.
3) 
.
2. 1) 
, отсеченной прямой 
.
2) 
, 
.
3. 
, вокруг оси .
Ч А С Т Ь III
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Путь, пройденный точкой. Если точка движется по некоторой кривой и абсолютная величина скорости ее v = f (t) есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [ 
], равен
.
Пример 1. Скорость точки равна 
Найти путь s, пройденный точкой за промежуток времени Т = 9 с, протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?
|
|
|
Решение. Имеем
Работа силы. Если переменная сила F = f (x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке [ 
] равна
Давление жидкости. Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на площадку S с глубиной погружения h равна
P = g h S,
где g – удельный вес жидкости.
Пример 2. Найти силу давления, испытываемую полукругом радиуса r, погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды (рис. 3.1)
Решение. Разбиваем площадь полукруга на элементы - полоски, параллельные поверхности воды.
Площадь одного такого элемента (отбрасывая б.м. высшего порядка), находящегося на 
расстоянии h от поверхности,
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна
где g – удельный вес жидкости, равный единице.
Отсюда вся сила давления есть
Кинетическая энергия. Кинетической энергией материальной точки, имеющей массу m и обладающей скоростью v, называется выражение
Кинетическая энергия системы n материальных точек с массами 
, обладающих соответственно скоростями 
, равна
(3.1)
Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а затем, суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе вместо суммы (3.1) получают интеграл.
