Равные геометрические тела имеют равные объемы

Конус. Усеченный конус

• Прямым круговым конусом (или просто конусом) называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.
• Фигура, полученная при вращении вокруг той же оси ломаной, составленной из гипотенузы и катета, не принадлежащего оси вращения, называется поверхностью конуса.
• Фигура, полученная от вращения гипотенузы, называется боковой поверхностью конуса, а фигура (круг), полученная от вращения катета, - основанием конуса.
• Радиус этого круга называется радиусом основания цилиндра.
• Катет треугольника, принадлежащий оси, называется высотой конуса (на рис. отрезок SO - высота конуса).
• Гипотенуза прямоугольного треугольника называется образующей конуса (на рис. отрезок AS - образующая конуса).

• Развертка боковой поверхности конуса является круговым сектором, а полная развертка поверхности конуса представляет собой круговой сектор и круг (рис.
• За объем конуса принимают предел последовательности правильных пирамид, вписанных в конус, при бесконечном увеличении числа сторон правильного многоугольника - основания пирамиды.

За площадь боковой поверхности конуса принимается предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных пирамид, вписанных в конус, при бесконечном увеличении числа сторон правильного многоугольника, лежащего в основаниях пирамид.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S_бок=πRl, где R - радиус основания конуса, l - образующая конуса ( l=∣AS∣ на рис.).

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле S_кон=πRl+πR²

 

Усеченный конус.

• Часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания, называется усеченным конусом.
• Основания усеченного конуса – подобные круги с центром подобия в вершине конуса (на рис. в точке S).
• Усеченный конус можно получить в результате вращения равнобедренной фигуры вокруг ее оси симметрии (на рис. трапеции AA₁B₁B). При вращении границы этой трапеции получается поверхность усеченного конуса.

• Боковая сторона трапеции называется образующей усеченного конуса;
• круги, полученные при вращении оснований трапеции, - основаниями усеченного конуса.
• Развертка усеченного конуса представляет собой объединение части кругового кольца и двух кругов (рис.).

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: S_бок= π(R - r)l

где l - образующая усеченного конуса (на рис. l =∣AA₁∣)

Свойства объемов тел

Объем тела есть неотрицательное число;

Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих;

Объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице;

Равные геометрические тела имеют равные объемы.

 

Следствие.

Если тело имеет объем V₁ и содержится в теле, имеющем объем V₂, то V₁ < V₂.