Теоремы для объемов тел

Т1 Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V=abc.

Т.2 Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: V=SH

Т.3 Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту: V=SH

Т.4 Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V=SH

Т.5 Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы: V₁= V₂

Т.6 Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:

Т.7 Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:

Т.8 Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V= πR²H

Т.9 Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

Т.10 Объем усеченного конуса равен  H(R²+Rr+r²), где R и r – радиусы оснований усеченного конуса.

        

Т.11 Для подобных фигур на плоскости, имеющих площадь, верна теорема: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

 

 

Примеры решения задач:

1.1. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, AB = 10, AC = 8. Найдите sin A.

Первое решение.

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 10. Найдем катет BC. Используя теорему Пифагора, имеем BC = . Следовательно, sin A = 0,6.

Второе решение.

Так как катет AC равен 8, а гипотенуза AB равна 10, то cos A = 0,8. Воспользуемся формулой , выражающей косинус через синус острого угла. Откуда sin A = 0,6.

Ответ. 0,6.

1.2. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, sin A = 0,6. Найдите cos A.

 

  Первое решение.

Воспользуемся формулой . Тогда cos A =  = 0,8.

Второе решение.

Можно считать, что гипотенуза AB и катет BC данного прямоугольного треугольника равны соответственно 10 и 6. Тогда по теореме Пифагора катет AC равен 8 и, следовательно, cos A = 0,8.

Ответ. 0,8.

1.3. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, высота CH равна 6, AC = 10. Найдите tg A.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ACH катет CH равен 6, гипотенуза AC равна 10. Используя теорему Пифагора, находим AH = 8. Следовательно, tg A = 0,75.

Ответ. 0,75

2.1. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите sin A.

Решение:

 Проведем высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза AC равна 10, катет AH равен 6. По теореме Пифагора находим CH = 8 и, следовательно, sin A = 0,8.

Ответ. 0,8.

2.2. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.

Решение.

В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна 10, катет AH равен 8.

По теореме Пифагора находим BH = 6 и, следова-тельно, cos B = 0,6. Так как углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.

Ответ. 0,6.

2.3. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 8, AC = . Найдите тангенс угла ACB.

Решение.

В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза AC равна , катет CH равен 8. По теореме Пифагора найдем AH. Имеем AH = = 16. Откуда tg A = 0,5. Так как углы A и C треугольника ABC равны, то тангенс угла ACB равен 0,5.

Ответ. 0,5.

3.1. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

Решение.

Синус внешнего угла при вершине A треугольника ABC равен синусу угла A и, следовательно, равен 0,6.

Ответ. 0,6.

3.2. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, sin A = 0,6. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

 

Решение.

Косинус внешнего угла при вершине A равен –cos A. Воспользуемся формулой , выражающей косинус острого угла через его синус. Тогда cos A =  = 0,8 и, следовательно,   косинус внешнего угла при вершине A равен –0,8.

Ответ. –0,8.

3.3. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, AB = 10, AC = 8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Решение.

Тангенс внешнего угла при вершине A равен –tg A. По теореме Пифагора находим BC = = 6 и, следовательно, tg A = 0,75. Значит, тангенс внешнего угла при вершине A равен –0,75.

Ответ. –0,75.

4.1. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

Решение.

Первое решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC. Его катет BC равен 3, гипотенуза OB равна . Следовательно, sin A = .

Второе решение. Угол AOB равен 45^о. Следовательно, sin A = .

Ответ. 2.

4.2. Найдите тангенс угла AOB.

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC. Его катеты BC и OC равны соответственно 4 и 2. Следовательно, тангенс угла BOC равен 2. Учитывая, что тангенс смежного угла равен тангенсу данного угла, взятому с противоположным знаком, получаем, что тангенс угла AOB равен – 2.

Ответ. – 2.

4.3. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

4.3. Рассмотрим треугольник OBС. OC = BC = , OB = . Следовательно, треугольник OBC – прямоугольный, косинус угла AOB равен .

Ответ 2.

5.1. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, BC = 4, sin A = 0,8. Найдите AB.

Решение.

Подставляя в формулу BC = AB sin A данные значения BC и sin A, находим AB = 5.

 

Ответ. 5.

5.2. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, tg A = 0,75, AC = 8. Найдите AB.

 

Решение.

5.2. Имеем BC = AC tg A = 8 0,75 = 6. По теореме Пифагора находим AB = = 10.

 

Ответ. 10.

5.3. В треугольнике ABC  угол C равен 90^о, CH – высота, BC = 6, cos A = 0,8. Найдите CH.

 

Решение.

Углы BCH и BAC равны, как острые углы с перпендикулярными сторонами, значит, cos BCH = 0,8. CH = BC cos BCH = 4,8.

Ответ. 4,8.

6.1. В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin A = 0,8. Найдите AB.

Решение.

  Первое решение. Проведем высоту CH. Имеем CH = AC sin A = 8. По теореме Пифагора находим AH =  и, следовательно, AB = 12.

Второе решение. Проведем высоту CH. Воспользуемся формулой , выражающей косинус острого угла через его синус. Тогда cos A =  = 0,6. Следовательно, AH = AC cos A = 6 и, значит, AB = 12.

Ответ. 12.

6.2. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, cos A = 0,6. Найдите высоту AH.

Решение.

Первое решение. В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен углу B,  BH = AB cos B = 6. По теореме Пифагора находим AH = .

 

Второе решение. Воспользуемся формулой , выражающей синус острого угла через его косинус. Тогда sin A =  = 0,8. Следовательно, поскольку в равнобедренном треугольнике A = B, получаем AH = AB sin B = 8.

Ответ. 8.

6.3. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 5, tg C = . Найдите AC.

Решение.

6.3. Первое решение. В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен углу C,значит, tg A = tg C и AH = . По теореме Пифагора находим AC = = 10.

Второе решение. Так как tg C = , то угол C равен 30^о. Угол A равен углу C. Так как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30^о, равен половине гипотенузы, то AC = 10.

Ответ. 10.

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ РАБОТЫ