Сечение цилиндра вращения плоскостью

Характер линии, по которой плоскость пересекает поверхность, зависит от того, как плоскость расположена относительно поверхности.

Цилиндрические сечения

1. Пара прямых (образующих), если плоскость параллельна оси цилиндра.

Плоскость Σ параллельна оси цилиндра и пересекает его по образующим ℓ и ℓ′.

2. Окружность, если плоскость перпендикулярна оси цилиндра

Плоскость Г перпендикулярна оси цилиндра и пересекает его по окружности диаметром, равным диаметру цилиндра.

1.Эллипс, если плоскость наклонена к оси цилиндра.

Плоскость Λ наклонена к оси цилиндра. В общем случае она пересекает все его образующие.

  В сечении всегда получается замкнутая кривая – эллипс.

   Большая ось эллипса равна длине отрезка 1₂-2₂, малая ось эллипса равна диаметру

цилиндра.

   Если секущая плоскость пересекает основание цилиндра, в сечении получается часть эллипса, но не какая-либо другая кривая.

Пример. Построить проекции линии пересечения цилиндра плоскостью Λ.

Решение. Плоскость Λ наклонена к оси цилиндра, поэтому пересекает цилиндр по эллипсу. Но эллипс будет неполным, так как цилиндр подрезан верхним основанием. Однако для удобства построений целесообразно продолжить очерковую образующую цилиндра до пересечения ее с плоскостью Λ в точке 1.

Фронтальная проекция эллипса совпадает с проекцией плоскости Λ, так как плоскость фронтально-проецирующая.

Горизонтальная проекция эллипса совпадает с окружностью, в которую проецируется весь цилиндр, так как цилиндр – горизонтально-проецирующий.

Профильная проекция эллипса – эллипс, но искаженный. Натуральный вид эллипса изображается только на плоскости П₄, параллельной плоскости Λ.

1. Характерные точки линии пересечения

1.1 Отрезок 1₂-2₂ – размер большой оси эллипса

1.2 Отрезок 3-4 – размер малой оси эллипса; всегда равен диаметру цилиндра

1.3 Отрезок 5-6 – линия пересечения плоскости верхнего основания с плоскостью Λ.

2. Промежуточные (произвольные) точки – точки 7 и 8.

3. Определение видимости эллипса.   

 На профильной проекции видимой является левая половина цилиндра. Границы видимости – очерковые точки 3₃ и 4₃. До точек 5₃ и 6₃ часть эллипса – видимая. Нижняя половина эллипса – невидимая, так как лежит на невидимой части цилиндра.

Участок эллипса 5₃-1₃-6₃ обведен условной линией (штрих-пунктирная с двумя точками), поскольку в данной задаче не принадлежит искомой линии.

1. Определение видимости очерков цилиндра. В данном случае видимость

определена, исходя из предположения, что часть цилиндра не отсечена плоскостью Λ. Тогда профильные очерковые образующие – видимые и высота

их не меняется.

2. Определение натурального вида эллипса проецированием на дополнительную плоскость П₄, параллельную плоскости Λ. Заменяемая ось х₁ выбрана совпадающей с горизонтальной осью симметрии на П₁.