Задание 6. Вычисление интегралов приближенными методами

Встроенная функция intg (a,b,f) в программе SciLab позволяет вычислять определенные интегралы, при условии, что подынтегральная функция на заданном интервале не имеет разрывов. В программе SciLab набирать натуральный логарифм lnx как log(x).

Табл.7.2

Листинг программы

// Функция, написанная на языке Scilab function y= f (x),y=sqrt(x)*exp(-x),endfunction I=intg(0.1,1.1, f)

Решение:

1. Имеем a=1.2, b=2.2, , n=10.

Тогда .

Вычислим значение функции по формуле :

По формуле прямоугольников с недостатком получаем:

   

             

По формуле прямоугольников с избытком получаем:

   

             

Применяя формулу трапеций, получим

   

                                   

             

Выполним проверку расчета с помощью программы. Для этого:

- определяем интегрируемую функцию:

// интегрируемая функция

function y = f (x)

y =2.6*(x. ^2).*log(x)

endfunction

 

- определяем отрезок и шаг интегрирования:

a=1.2; b=2.2; // отрезок интегрирования

n=10;

h=(b-a)/n;

 

- вычисляем таблицу значений функции с заданным шагом:

// таблица значений х

x=a:h:b;

// таблица значений y

y=f(X);

 

- вычисляем значение интеграла по формулам прямоугольников (с недостатком и избытком, трапеций и с помощью встроенной функции intg:

// формула прямоугольников с недостатком

I1=h*sum(y(1:n))

// формула прямоугольников с избытком

I2=h*sum(y(2:n+1))

// формула трапеций

I3=h*((y(1)+y(n+1))/2+sum(y(2:n)))

// встроенная функция intg

I4=intg(a,b,f)

 

В результате выполнения программы получим:

 

2. Сравним точность полученных результатов. Для этого найдем точное значение интеграла:

и вычислим относительную погрешность значений, полученных численными методами. Используем для этого программу

// оценка погрешности

// точное значение интеграла

I0=2.6*(b^3*(3*log(b)-1)-a^3*(3*log(a)-1))/9

// отн. погрешности полученных значений

d1=abs(I1-I0)*100/I0

d2=abs(I2-I0)*100/I0

d3=abs(I3-I0)*100/I0

d4=abs(I4-I0)*100/I0

    В результате выполнения программы получаем:

- для метода прямоугольников с недостатком:

   

- для метода прямоугольников с избытком:

   

- для метода трапеций:

   

- для встроенной функции intg:

   

Заметим, что значение, полученное с помощью встроенной функции intg, во всех знаках совпадает с точным аналитическим значением интеграла.