Задание 5. Решение СЛАУ методом Зейделя

Министерство науки и высшего образования

Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего образования

«Уральский государственный горный университет»

Курсовая работа

По дисциплине «Вычислительные методы и прикладные программы»

 

5 вариант

 

                                                         Выполнил  Витвицкий Я.С.

                                                         студент группы ЭЭПу-19-2

 

                                                   Проверил: доцент

Раевская Л. Т.  

 

 

2020

 

 

Задание 1.1. Правильная запись результатов, выполнение округлений

Вариант 5.   137,0±0,2; 137±0,2; 137,00±0,2; 132,13±0,2; 132,13±0,17; 132,1±0,17; 436,402±0,15; 436,4±0,15; 436,40±0,15. → → → → → → → → → 137,0±0,2; 137,0±0,2; 137,0±0,2; 132,1±0,2; 132,1±0,2; 132,1±0,2; 436,4±0,2; 436,4±0,2; 436,4±0,2. Округлить:

(до сотых)  0,37439±0,0791; (до десятых) 32,7849±0,98;  (до десятков) 3789±32

→ → →

0,37±0,08; 32,8±1,0;  3790±30.

Задание 1.2. Погрешности прямых измерений

Данные для задания 1.3

Вариант	Результаты 10-ти замеров длины металлического бруска (мм)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	41,0	41,1	41,2	41,3	41,0	41,0	41,1	41,0	41,0	41,1

 

Ответ:

 

Задание 3. Решение СЛАУ методом Гаусса

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

-0,20х1+1,60х2-0,10х3=0,30

-0,30х1+0,10х2-1,50х3=0,40

1,20х1-0,20х2+0,30х3=-0,60

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

-0,20 1,60 -0,10 | 0,30

-0,30 0,10 -1,50 | 0,40

1,20 -0,20 0,30 | -0,60

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 

1,20 -0,20 0,30 | -0,60

-0,30 0,10 -1,50 | 0,40

-0,20 1,60 -0,10 | 0,30

Работаем со столбцом №1
Умножим 2-ю строку на (k = -0.2 / 0.3 = -0.667) и добавим к 3-й:

 

 1,2 -0,2 0,3 | -0,6

-0,3 0,1 -1,5 | 0,4

 0 1,53 0,9 | 0,033

Умножим 1-ю строку на (k = 0.3 / 1.2 = 0.25) и добавим к 2-й:

 

1,2 -0,2 0,3 | -0,6

0  0,05 -1,425 | 0,25

0  1,53 0,9 | 0,033

Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ю строку на (k = -1.533 / 0.05 = -30.667) и добавим к 3-й:

 

1,2 -0,2 0,3 | -0,6

0  0,05 -1,425 | 0,25

0  0  44,6 | -7,63

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

 

1  -0,17 0,25 | -0,5

0  1 -28,5 | 5

0  0 1 | -0,17

Теперь исходную систему можно записать как:
x₁ = -0,5 - (- 0,17x₂ + 0,25x₃)
x₂ = 5 - (- 28,5x₃)
x₃ = -0,17
Из 3-ой строки выражаем x₃
x₃ = -0,17
Из 2-ой строки выражаем x₂
x₂ = 5 - (-28,5)*(-0,17) = 0,12
Из 1-ой строки выражаем x₁
x₁ = -0,5 - (-0,17)*0,12 – 0,25*(-0,17) = -0,44

 

Задание 4. Решение СЛАУ методом простых итераций

 

Исходная матрица.

-8.2	0.37	0	0	7.559
0.234	7.3	5.6	0	8.175
0	0.26	-6.34	0.422	8.421
0	0	0.268	5.5	8.322

Метод простой итерации.

Систему будем решать методом последовательных приближений. Пусть x⁰=β, тогда:

x¹=b - a x⁰

x²=b - a x

x^k+1=b - a x^k

Приведем к виду:

x₁=-0.922 - (-0.0451x₂)

x₂=1.12 - (0.0321x₁+0.77x₃)

x₃=-1.328 - (-0.041x₂-0.0666x₄)

x₄=1.513 - (0.0487x₃)

Вычисления заканчиваются по критерию:

где

a = 0,0321+0,767+0 = 0,7992

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1

x₁=-0.922 - 0*(-0.0451) - 0*0 - 0*0=-0.922

x₂=1.12 - 0*0.0321 - 0*0.767 - 0*0=1.12

x₃=-1.328 - 0*0 - 0*(-0.041) - 0*(-0.0666)= -1.328

x₄=1.513 - 0*0 - 0*0 - 0*0.0487=1.513

N=2

x₁=-0.922 - 1.12*(-0.0451) - (-1.328)*0 - 1.513*0=-0.871

x₂=1.12 - (-0.922)*0.0321 - (-1.328)*0.767 - 1.513*0=2.168

x₃=-1.328 - (-0.922)*0 - 1.12*(-0.041) - 1.513*(-0.0666)=-1.182

x₄=1.513 - (-0.922)*0 - 1.12*0 - (-1.328)*0.0487=1.578

N=3

x₁=-0.922 - 2.168*(-0.0451) - (-1.182)*0 - 1.578*0=-0.824

x₂=1.12 - (-0.871)*0.0321 - (-1.182)*0.767 - 1.578*0=2.054

x₃=-1.328 - (-0.871)*0 - 2.168*(-0.041) - 1.578*(-0.0666)=-1.134

x₄=1.513 - (-0.871)*0 - 2.168*0 - (-1.182)*0.0487=1.571

 

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	-0.922	1.12	-1.328	1.513	0.922	1.12	1.328	1.513
2	-0.871	2.168	-1.182	1.578	-0.0505	1.048	-0.147	0.0647
3	-0.824	2.054	-1.134	1.571	-0.0473	-0.114	-0.0473	-0.00715
4	-0.829	2.016	-1.139	1.568	0.00515	-0.0378	0.00516	-0.00231
5	-0.831	2.021	-1.141	1.569	0.00171	0.00412	0.0017	0.000251
6	-0.831	2.022	-1.141	1.569	-0.000186	0.00136	-0.000186	8.3E-5
7	-0.831	2.022	-1.141	1.569	-6.1E-5	-0.000148	-6.1E-5	-9.0E-6

 

 

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

Вычисляем погрешность:

Проверим решение с помощью программы.

Задание 5. Решение СЛАУ методом Зейделя

 

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.

Имеем СЛАУ: A x =b (1)

Предполагая, что a_ii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x₁, второе – относительно x₂,…, n-ое уравнение – относительно x_n. В результате получим:

x₁=β₁ - α₁₂x₂ - α₁₃x₃ -... - α_1nx_n

x₂=β₂ - α₂₁x₁ - α₂₃x₃ -... - α_2nx_n

x_n=β_n - α_n1x_n - α_n3x₃ -... - α_nn-1x_n-1

где β_i=b_i/a_ii; α_ij=a_ij/a_ii при i ≠ j; α_ii=0

Известно начальное приближение: x⁰=(x⁰₁, x⁰₂,..., x⁰_n).

Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x₁, x₂,..., x_n.

Итерационная схема имеет вид:

x^k+1₁=β₁ - ∑α_1jx^k_j

x^k+1₂=β₂ - α₂₁x^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

x^k+1_i=β_i - ∑α_ijx^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.

-8,2 0,37 0 0 0,234 7,3 5,6 0 0 0,26 -6,34 0,422 0 0 0,268 5,5

Приведем к виду:

x₁=-0.922 - (-0.0451x₂)

x₂=1.12 - (0.0321x₁+0.77x₃)

x₃=-1.328 - (-0.041x₂-0.0666x₄)

x₄=1.513 - (0.0487x₃)

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1
x₁=-0.922 - 0*(-0.0451) - 0*0 - 0*0=-0.922

x₂=1.12 - (-0.922)*0.0321 - 0*0.767 - 0*0=1.149

x₃=-1.328 - (-0.922)*0 - 1.149*(-0.041) - 0*(-0.0666)=-1.281

x₄=1.513 - (-0.922)*0 - 1.149*0 - (-1.281)*0.0487=1.576

N=2

x₁=-0.922 - 1.149*(-0.0451) - (-1.281)*0 - 1.576*0=-0.87

x₂=1.12 - (-0.87)*0.0321 - (-1.281)*0.767 - 1.576*0=2.131

x₃=-1.328 - (-0.87)*0 - 2.131*(-0.041) - 1.576*(-0.0666)=-1.136

x₄=1.513 - (-0.87)*0 - 2.131*0 - (-1.136)*0.0487=1.568

N=3

x₁=-0.922 - 2.131*(-0.0451) - (-1.136)*0 - 1.568*0=-0.826

x₂=1.12 - (-0.826)*0.0321 - (-1.136)*0.767 - 1.568*0=2.018

x₃=-1.328 - (-0.826)*0 - 2.018*(-0.041) - 1.568*(-0.0666)=-1.141

x₄=1.513 - (-0.826)*0 - 2.018*0 - (-1.141)*0.0487=1.569

 

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	-0.922	1.149	-1.281	1.576	0.922	1.149	1.281	1.576
2	-0.87	2.131	-1.136	1.568	-0.0519	0.981	-0.145	-0.00707
3	-0.826	2.018	-1.141	1.569	-0.0443	-0.113	0.00509	0.000248
4	-0.831	2.022	-1.141	1.569	0.00509	0.00407	-0.000183	-9.0E-6
5	-0.831	2.022	-1.141	1.569	-0.000184	-0.000147	7.0E-6	0

 

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

Вычисляем погрешность:

 

Выполним проверку с помощью программы