Исследование сходимости несобственных интегралов

    Рассмотрим примеры на исследование сходимости несобственных интегралов.

Пример 1.    

       - несобственный интеграл от положительной функции одновременно  и  рода, так как промежуток интегрирования - бесконечный, а подынтегральная функция - неограниченная (   - особая точка).

    Разобьем промежуток интегрирования на два промежутка и исследуем каждый из полученных несобственных интегралов:

    .

, ∙ ; 

  - это сходящийся «эталонный» интеграл 2 рода () ⇒   - сходится (по второму признаку сравнения).

, ; 

  - это сходящийся «эталонный» интеграл 1 рода ()  ⇒   - также сходится (по второму признаку сравнения).  - сходятся⇒    - сходится.

Пример 2.    

      - несобственный интеграл одновременно  и  рода, так как промежуток интегрирования - бесконечный, а подынтегральная функция - неограниченная (   - особая точка).

    Разобьем промежуток интегрирования на два промежутка и исследуем каждый из полученных несобственных интегралов:

. 

  - несобственный интеграл  рода от положительной функции, ;  – это сходящийся «эталонный» интеграл 2 рода (), по второму признаку сравнения несобственный интеграл   - сходится.  

  - несобственный интеграл 1 рода от знакопеременной функции - сходится абсолютно, так как и   - это сходящийся «эталонный» интеграл 1 рода ().

  - сходятся ⇒   - сходится.

Пример 3.    

    - несобственный интеграл  рода от отрицательной функции с двумя особыми точками: и . Разобьем промежуток интегрирования на два промежутка и исследуем каждый из полученных несобственных интегралов:

. 

       , ;   - сходится

(см. § 6) ⇒   - сходится (по второму признаку сравнения).  

    , ;

⇒   - ограниченная функция на промежутке ⇒   – это собственный интеграл, значит, он сходится;   - сходятся ⇒   - сходится. 

Пример 4.    

    Исследуем на сходимость несобственный интеграл , т.е. найдем все значения параметра , при которых данный несобственный интеграл сходится.

      - несобственный интеграл от положительной функции одновременно  и  рода, так как промежуток интегрирования - бесконечный, а подынтегральная функция – неограниченная (есть особая точка: ).

    Разобьем промежуток интегрирования на два промежутка и исследуем каждый из полученных несобственных интегралов:

.

, ;   - это «эталонный» интеграл 2 рода - сходится при , т. е. при , и расходится при , т. е. при . 

Следовательно,   - также сходится при и расходится при .  

, ∙ ;   - это «эталонный» интеграл 1 рода - сходится при  и расходится при . Следовательно,   - также сходится при и расходится при .  

    Итак,   - сходится при , а   - сходится при .  Значит,

несобственный интеграл сходится при .

Пример 5.         

Исследуем на сходимость несобственный интеграл

                        .   

    Представим  в виде суммы двух интегралов: , 

где , .

    Если , то   - собственный интеграл; если , то   - несобственный интеграл  рода с единственной особой точкой ;

∙ ;   - сходится при , т.е. при , и расходится при , т.е. при .

Следовательно,  также сходится при , и расходится при .

  - несобственный интеграл  рода; покажем, что этот интеграл сходится при .

    Известно, что " ; значит, существует число  такое, что " ;  ⇔ ;   – сходится («эталонный» интеграл 1 рода); значит, по первому  признаку сравнения   - также сходится " .

    Следовательно,   - сходится при .

    Замечание. Рассмотренный интеграл  является функцией параметра . Эта функция называется гамма - функцией. Гамма - функция имеет широкое применение в теории вероятностей, математической статистике и в самом математическом анализе.  

Пример 6.   Исследуем на сходимость несобственный интеграл

                      .  

    При особой точкой будет , а при  особой точкой будет . Пусть , где

    , .

∙ (если );

  - сходится при , т.е. при , и расходится при .

(если ); 

  - сходится при , т.е. при , и расходится при . 

    Итак,  и  - сходятся при и . 

Следовательно,   - также сходится при и .

Замечание. Рассмотренный интеграл  является функцией параметров  и . Эта функция называется бета - функцией. Можно показать, что б ета - функция  связана с гамма - функцией следующей формулой:

                       .

 

Контрольные вопросы.

1. Привести примеры несобственных интегралов 1 рода от знакопеременных функций.

2. Дать определение абсолютной сходимости несобственных интегралов 1 рода. 

3. Дать определение условной сходимости несобственных интегралов 1 рода. 

4. Сходится ли  несобственный интеграл 1 рода, если известно, что он: 

а) абсолютно сходится; б) условно сходится?

5. Сформулировать признаки сходимости Абеля и Дирихле  для несобственных интегралов 1 рода.

6.  Привести примеры условно сходящихся несобственных интегралов 1 рода.

7. Дать определение сходимости несобственных интегралов 2 рода, если известно, что единственной особой точкой является: а) правый конец промежутка; б) левый конец промежутка; в) внутренняя точка промежутка.

8. Какие несобственные интегралы 2 рода называются «эталонными»? Указать условия сходимости «эталонных» несобственных интегралов 2 рода.

9. Среди несобственных интегралов 2 рода указать все сходящиеся интегралы:

    (а) ; (б) ; (в) ; (г) .     

10. Привести примеры условно сходящихся несобственных интегралов 2 рода.