Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть поверхностная плотность заряда равна . Такое распределение заряда по бесконечной плоскости характеризуется тем, что его вид не зависит от: а) поворота на любой угол вокруг любой оси перпендикулярной плоскости, б) сдвига на любое расстояние вдоль прямой лежащей в плоскости и любого направления. Наконец, в) отражение данного распределения заряда в зеркале, совпадающем с самой плоскостью, оставит его неизменным.

Из анализа симметрии достаточно очевидно, что потенциал в любой точке вне плоскости может зависеть только от расстояния от этой точки до плоскости. Направим ось декартовой системы координат перпендикулярно плоскости, а оси и пусть принадлежат самой плоскости, тогда

(1.53)

Причем, в силу зеркальной симметрии, поле «перед» плоскостью отличается от поля «за» плоскостью только направлением вектора . Это означает, что зависимость от должна быть нечетной, а зависимость потенциала от должна быть четной.

В силу этих соображений возьмём замкнутую поверхность — ту, для которой будем писать теорему Гаусса, — следующего вида (рис 1.51).

Рис. 1.51. Электрическое поле заряженной плоскости

Это цилиндр с боковой поверхностью перпендикулярной плоскости и с основаниями параллельными плоскости. Высота цилиндра , площадь оснований . Учитывая нечетность зависимости , основания цилиндра удобно расположить на одинаковом расстоянии от плоскости, тогда вклад оснований в поток будет одинаков. Напряженность поля на основаниях, во-первых, им перпендикулярна, во-вторых, сонаправлена с внешней нормалью, в-третьих, она одинакова во всех их точках по абсолютной величине

Вклад в поток вектора от боковой поверхности равен нулю, так как на боковой поверхности .

Поэтому полный поток через всю замкнутую цилиндрическую поверхность равен

(1.54)

Внутри рассматриваемой цилиндрической поверхности находится заряд

где — плотность заряда на плоскости. По теореме Гаусса

следовательно, модуль напряженности поля заряженной плоскости равен

Подчеркнём, что результат очевидным образом не зависит от того, на каком расстоянии от плоскости расположены основания рассмотренного цилиндра. Отсюда следует, что с каждой стороны от плоскости создаваемое ею электрическое поле однородно.

Используя введенную ранее ось перпендикулярную заряженной плоскости, поле с обеих сторон от плоскости можно описать одной формулой, пригодной при любом знаке заряда на плоскости

(1.55)

Здесь — орт оси .

Интегрируя с учетом

для зависимости от потенциала поля плоскости нетрудно получить:

(1.56)

Потенциал в нормирован условием . Здесь, как и в примере с бесконечно длинной заряженной цилиндрической поверхностью, потенциал растет при удалении на бесконечность, поэтому нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла.