Классификация интервалов

Классификация интервалов в СТО  

(данный материал является дополнительным)

РИС. 6-4

Если взять две мировые точки, то квадрат интервала между ними:

.

Пусть событие 1 наступило в точке , . Любые события, наступившие до и после события 1, изображаются точками на плоскости .

«Расстояние» (интервал) от события 1 до любого события на плоскости  мира Минковского: .

На прямых     всегда .

Такой интервал называется светоподобным.

 

Светоподобным называется интервал между событиями, расстояние между которыми на псевдоевклидовой плоскости равно нулю.

 

Светоподобные прямые выделяют на плоскости  четыре квадранта:

 

1. . Для всех событий этого квадранта ; значит, все эти события происходят позже события 1 и никаким выбором системы отсчета это изменить нельзя. Следовательно, интервал между событием 1 и любым событием в квадранте I – времени - подобный, и квадрант I – это область абсолютного будущего. Легко убедиться, что последовательность событий в квадранте I не зависит от выбора системы отсчета.

 

Будущее – это все события, на которые, вообще говоря, может повлиять, то, что мы делаем здесь и сейчас. Эти события находятся в световом конусе будущего.

Примечание

 - это уравнение, описывающее распространение света в 4-мерном пространстве, с точки зрения математики это есть уравнение конуса, который обычно называют световым конусом.

 

2. , но для всех событий этого квадранта , т. е. все события в этом квадранте произошли раньше события 1. Это область абсолютного прошлого.

 

Прошлое – это множество всех событий, которые, вообще говоря, могли бы оказать воздействие на то, что происходит здесь и сейчас.

 

Итак, внутренние полости конуса соответствуют областям «абсолютного будущего» и «абсолютного прошлого». Между событиями, лежащими на внутренней полости световых конусов, может существовать причинная связь.

 

В квадрантах III и IV , такой интервал называют пространственно-подобным: все события в квадрантах III и IV происходят в точках пространства, не совпадающих с точкой события 1; изменить это путем соответствующего выбора системы отсчета невозможно. Однако можно найти такие системы отсчета, в которых события, находящиеся в квадрантах III и IV, произошли бы раньше, позже или одновременно с событием 1, поскольку понятия «раньше», «позже» или «одновременно» для этих событий относительны, ибо эти события не могут быть связаны с событием 1 причинной связью.

Классификация интервалов

Квадранты	Соотношения между координатами и временем для двух событий	Тип интервала	Характер связи между событиями
I II		Времени-подобный	Может быть причинно-следственная связь
III IV		Пространственно-подобный	Нет причинной связи
Биссектриса		Свето-подобный	События могут быть связаны световым сигналом

 

На евклидовой плоскости  геометрическим местом точек, равноудаленных от

начала координат, является окружность .

 

                           РИС.6-5                                        РИС.6-6

На псевдоевклидовой плоскости  квадрат «расстояния» от начала координат до равноудаленных от него точек:   - это уравнение гиперболы.

Световой конус – это асимптоты гипербол.

 

О парадоксе близнецов (часов)

Напомнание!

При , и угол поворота . Свет распространяется по биссектрисе.

 

РИС. 4п-6

 

 

 

 

 

РИС. 6-8

   

Исходно близнецы находятся в точке .

Путешественник совершает движение на участке , затем на участке  - движение равномерное и прямолинейное везде кроме небольших участков вблизи точек , где он совершает разгон, поворот и торможение, т.е. движется с ускорением. Поскольку мы ничего не знаем о движении с ускорением (не знаем, как ускорение влияет на ход часов), будем полагать, что эти участки малы по сравнению с  и .

Сделаем важное определение.

Псевдопифагорова теорема

       

РИС. 6-1

 

 

 .

Теперь вспомним определение интервала между точками А и В, . Этот результат получен в соответствии с определением интервала в СТО, он похож на теорему Пифагора, но противоречит ей.

Итак, длина мировой линии «путешественника» согласно псевдопифагоровой теореме:

-------------------------------

.

Длина мировой линии «домоседа»:

- больше, чем длина мировой линии «путешественника».

Значит, по собственному времени «путешественник» прожил меньше, чем «домосед».

Парадоксальным является утверждение о том, что с точки зрения «путешественника» он является «домоседом», а «домосед» - «путешественником».

Еще раз о парадоксе близнецов с применением некоторых формул

(дополнительный материал)

 

Имеем двое синхронизованных часов  и .

В момент  часы  и  находятся в начале отсчета (точка ). Пусть  покоятся в точке , а  совершают следующее движение: ускоряются на участке , движутся равномерно со скоростью  на участке , тормозятся той же силой на отрезке , движутся равномерно и прямолинейно на отрезке , затем та же сила тормозит часы, и они приходят в исходную точку .

РИС. 6-9

 

 

При бесконечно большой внешней силе время, необходимое для ускорения часов на участке  и торможения в точке поворота , равно нулю. Значит, время, необходимое для путешествия, равно удвоенному времени пролета отрезка  с постоянной скоростью .

По часам  от момента «отъезда» до момента «приезда» прошло время , а по часам  - .

По часам в неподвижной системе K:

.

С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с часами : часы  покоятся, а часы  сначала удаляются, затем приближаются, поэтому наблюдатель в системе K’ будет утверждать:

.

Когда наблюдатели встретятся, то каждый из них будет утверждать, что он моложе другого. В этом и состоит парадокс часов (персонифицированный вариант – парадокс близнецов).

РИС. 6-10

 

 

 - момент прибытия часов  в точку ;

 - показания часов  в этот же момент времени;

.         

 

Разрешение парадокса состоит в том, что ускорение, торможение и поворот – это движение в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции эквивалентны силам тяжести. Согласно ОТО появление гравитационного поля изменяет геометрию пространства-времени: там, где существует сила тяжести, ход часов замедляется (потенциал гравитационного поля влияет на ход часов). Значит, в системе, которая претерпевает ускорение, часы идут медленнее; по движущимся часам кажется, что прошел час, а на самом деле (с точки зрения неподвижного наблюдателя) – сутки или год.