Уравнение равновесия напряжений и совместности деформаций

В основе уравнения равновесия напряжений и совместности деформаций лежит закон сохранения энергии:

.                                                 (12.88)

Здесь  – потенциальная энергия упругой деформации,  – внутренняя энергия, изменяющаяся при нагреве от пластической деформации,  – работа внешних сил

,

где  – плотность энергии (ее количество в единице объема тела). Тогда для всего тела объемом

.                                     (12.89)

Работа объемных сил  (магнитных, гравитационных нагрузок, распределенных по объему тела ):

,                                    (12.90)

где  – перемещения точек тела; работа поверхностных сил  (контактных нагрузок, распределенных по поверхности тела ):

.                          (12.91)

С учетом этих формул выражение закона сохранения энергии приобретает вид:

                       (12.92)

и обеспечивает такое поведение тела, при котором оно имеет минимум потенциальной энергии и выделяет минимальное количество тепла. Это соответствует равновесию напряжений и совместности деформаций в каждой точке тела. Приращения напряжений  по каждой оси связаны между собой и с приращением объемной силы  уравнениями, обеспечивающими равновесие сил, действующих на элементарный объем по каждой оси. Например, для оси (рис. 12.27):

;

.

Рис. 12.27. Схема равновесия напряжения по оси x ₁

Уравнения совместности деформаций обеспечивают сплошность тела, отсутствие разрывов между смежными объемами материала и их взаимопроникновения. В каждой точке тела существуют три компоненты перемещения , которые могут изменяться как угодно, и шесть различных компонент деформации , причем, согласно формуле (32), каждую компоненту  можно выразить через компоненты . Следовательно, три из компонент  связаны уравнениями совместности с остальными тремя.

Если решить интегральное уравнение (12.92), мы получим НДС, в котором напряжения  являются равновесными (находятся в каждой точке в равновесии с объемными силами  и поверхностными силами ), а деформации  - кинематически возможными (не нарушают условий совместности и могут быть найдены по перемещениям ).

Если обеспечить совместность деформаций и задать физические уравнения, связывающие напряжения с деформациями, то из формулы (12.92) можно вывести уравнения равновесия напряжений. Решение этих уравнений обеспечивает получение реального распределения НДС в теле с соблюдением равновесия, совместности и законов упругости и пластичности.