Приближение функции. Интерполяция. Аппроксимация

Для заданных значениях независимой переменной x_i и соответствующих им значениях зависимой переменной yi (i=0,1,2,…,n) определить аналитическую зависимость. y=f(x)

Основные этапы при приближение функции: Выбор вида зависимости; Выбор критерия; Выбор узловых точек; Оценка точности.

Интерполяция (определение аналитической зависимости функции между x и y в виде некоторой функции f(x), которая в узловых точках принимает заданные значения f(x_i)=y_i, где i=0,1,2,…,n) используется для замены реальной сложной функции более простой на небольшом интервале области определения функции, а также для вычислений промежуточных значений функции заданной таблично.

Метод с использованием многочлена Лагранжа. Пусть в n+1 узловой точке x₀, x₁, x₂, …, x_n определены значения y₀, y₁, y₂, …, y_n. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых точках заданные значения, т.е. L(x₀)=y₀, L(x₁)=y₁, L(x₂)=y₂, …, L(x_n)=y_n. Рассмотрим многочлен вида  

где i = 0,1,2,3,…….,n, который только в точке x_i принимает значение y_i, а в остальных равен нулю.  

из этого условия можно определить c_i:  и тогда многочлен (1) примет вид:  

Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).  или