Решение систем нелинейных уравнений

Система нелинейных уравнений (СНУ). В общем случае систему нелинейных уравнений можно записать как: или Решением СНУ является такой вектор при подстановке которого в систему последняя обращается в тождество.

Методы простых итераций. Прямой подход получения эквивалентной системы нелинейных уравнений. Преобразуем систему нелинейных уравнений к эквивалентному виду Выберем некоторое начальное приближение Последующие приближения найдем по формулам Произвольное приближение (итерационную формулу) запишем как: На каждой итерации вычисляем вектор и проверяем условие окончания итерационного процесса где e заданная точность.

Общий подход получения эквивалентной системы нелинейных уравнений Если не удаётся преобразовать исходную СНУ к эквивалентному виду, который будет сходится, то можно воспользоваться общим приемом. Итерационную формулу запишем где матрицу можно представить диагональной, а подбором значений элементов, можно добиться сходимость итерационного процесса.

Программа. Система нелинейных уравнений. Простые итерации

function DATA

global x0 eps;

x0=[0.5;0.5];

eps=0.01;

end

function [ fx ] = f(x)

fx=[sqrt((x(2)+2)/3);sqrt(2*x(1)-1)];

end

function [ fx ] = fp(x)

fx=[2*x(1)-x(2)^2-1;3*x(1)^2-x(2)-2];

end

function [ x,fx ] = fun_Syst_NelUr_Prost_Iter(x0,eps)

x=x0;

for i=1:100

xnew=f(x);

dx=xnew-x;

if norm(dx)<=eps

break;

else

x=xnew;

end %if

end %for i

fx=fp(x);

end % function

function GLAV_Syst_NelUr_Prost_Iter

global x0 eps x fx;

DATA;

[ x,fx ] = fun_Syst_NelUr_Prost_Iter(x0,eps);

REPORT;

end

function REPORT

global x0 eps x fx;

disp('System of Non-Linear Equiations Simply Iterations');

disp(' ');

disp(['eps = ' num2str(eps,'%10.5f') ]);

disp('Results');

disp(' ');

disp(' x0 x fx ');

disp(' ______________________________')

i=0;

for i=1:length(x)

x00=x0(i);

xx=x(i);

ffx=fx(i);

disp(sprintf('%10.3f\t%10.3f\t %10.3f',x00,xx,ffx));

end %for

end

Метод Ньютона-Рафсона. Пусть известно некоторое приближение к решению Запишем исходную систему в виде где Разложим функцию в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами.