Блок-схема метода простых итераций

60 61 62 63 64 65 66

начало

x, f(x)

a,b,ε || f(x),f’(x)

b:= -2/f’(b) x:=b

| h | £ ε

конец

h:= bf(x) x:= x+h

|f’(b)|>|f’(a)|

b:= -2/f’(a) x:=a

Программа. Нелинейное уравнение. Метод простых итераций

function DATA

global a b eps n_plot_dots;

a=1;

b=3;

eps=0.01;

n_plot_dots=100;

end

function [ fx ] = f(x)

fx=x.^2-5;

end

function [ fx ] = fp(x)

fx=x.*2;

end

function [ x,fx ] = fun_Nelin_Prost_Iterac(a,b,eps)

if abs(fp(b))>abs(fp(a))

beta=-2/fp(b);

x=b;

else

beta=-2/fp(a);

x=a;

end %if

for i=1:100

h=beta*f(x);

x=x+h;

if abs(h)<=eps

break;

end%if

end%for i

fx=f(x);

end % function

function GLAV_Nelin_Prost_Iterac

global a b eps x fx n_plot_dots;

DATA;

[ x,fx ] = fun_Nelin_Prost_Iterac(a,b,eps);

REPORT;

end

function REPORT

global a b eps x fx n_plot_dots;

disp('Nelin Prost Iterac');

disp(' ');

disp(['a = ' num2str(a,'%10.5f') ]);

disp(['b = ' num2str(b,'%10.5f') ]);

disp(['eps = ' num2str(eps,'%10.5f') ]);

disp('Results');

disp(['x = ' num2str(x,'%10.5f') ]);

disp(['fx = ' num2str(fx,'%10.5f') ]);

h=(b-a)/(n_plot_dots-1);

for i=1:n_plot_dots

if i==1

xmas(i)=a;

else

xmas(i)=xmas(i-1)+h;

end %if

fmas(i)=f(xmas(i));

end

disp(' i x fx ');

disp(' ______________________________')

i=0;

for i=1:length(xmas)

xx=xmas(i);

ffx=fmas(i);

disp(sprintf('%10.3f\t%10.3f\t %10.3f',i,xx,ffx));

end %for

plot(xmas,fmas,'r.');

grid on;

xlabel('x');

ylabel('y');

title('Nelin Prost Iterac');

end

Метод Ньютона или касательных. Пусть известно некоторое приближение x⁽^k^-1) к решению x* уравнения f(x)=0. Тогда исходное уравнение можно записать в виде: f(x⁽^k^-1)+∆x⁽^k^-1))=0 где ∆x⁽^k^-1)= x* -x⁽^k^-1) и x* = x⁽^k^-1)+∆x⁽^k^-1). Разложим функцию в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами f(x⁽^k^-1)+∆x⁽^k^-1)) = f(x⁽^k^-1))+f′(x⁽^k^-1))∆x⁽^k^-1) = 0 откуда , и тогда Полученное значение принимаем за новое приближение к решению. Тогда итерационную формулу запишем как:

На каждой итерации, за новое приближение к корню x⁽^k⁾ принимается точка пересечения касательной к графику, построенной в точке f(x⁽^k^-1)) с осью абсцисс x: , тогда За начальное приближение к корню x⁽⁰⁾ принимаем одну из границ отрезка [a; b], содержащего один корень.