До плоскоского многоугольника (задача № 2)

Решение задачи № 2 основывается на применении способа замены плоскостей проекций, сущность которого заключается в том, что одну из основных плоскостей проекций (П₁ или П₂) системы П₂ / П₁ П₂ заменяют новой плоскостью, перпендикулярной незаменяемой. Последовательное введение новых плоскостей проекций позволяет получить такую систему ортогональных плоскостей, относительно которой неподвижная геометрическая фигура займёт требуемое частное положение, что значительно упростит решение задачи на чертеже.

При решении большинства задач приходится вводить одну или последовательно две плоскости проекций. Точка А заданна в системе плоскостей П₂ / П₁ своими проекциями А₁ и А₂ (рисунок 4.1). Возьмём новую плоскость проекций П₄, перпендикулярную к плоскости П₁, то есть перейдём от заданной системы П₂ / П₁ к новой системе П₄ / П₁ и построим ортогональную проекцию А₄ точки А на этой плоскости.

Если точка А в исходной системе плоскостей (П₂ / П₁) определялась своими проекциями А₁ и А₂, то в новой системе (П₄ / П₁) она будет определятся проекциями А₁ и А₄ (см. рисунок 4.1). Так как горизонтальная плоскость является общей для исходной и новой систем, то координата z_А точки А останется неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции А₄ до новой оси x₁₄ должно быть равно расстоянию от заменяемой проекции А₂ до оси x₁₂, то есть:

            │А₂А₁₂│=│А₄А₁₄│= z_A.                                               (4.1)

Эпюрное решение замены плоскости П₂ на плоскость П₄ показано на рисунке 4.2.

При переходе от первоначальной системы к новой, с учётом равенства 4.1, необходимо выполнить следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от преобразуемой проекции точки до предыдущей оси.

Эпюрное решение последовательной замены двух заданных плоскостей проекций показано на рисунке 4.3. Сначала от системы П₂ / П₁ переходят к промежуточной системе П₄ / П₁, а далее от системы П₄ / П₁ – к системе П₄ / П₅. Отметим, что новые оси x₁₄ и x₄₅ проводят на произвольном расстоянии при первой замене от горизонтальной проекции точки А₁, а при второй – от новой фронтальной проекции то-чки А₄ (эти расстояния могут равняться и нулю).

При переходе от системы П₄ / П₁ к системе П₄ / П₅ и с учётом вышеизложенного правила, расстояние l_A от новой проекции А₅ точки А до новой оси x₄₅ равняется расстоянию от заменяемой горизонтальной проекции А₁ точки до предыдущей оси.

Применение способа замены плоскостей проекций для решения позиционных и метрических задач основывается на решении четырёх основных задач начертательной геометрии.

Задача I. Преобразовать чертёж так, чтобы прямая общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы, то есть стала прямой уровня.

На эпюре (рисунок 4.4) прямая общего положения задана отрезком AB (A₁B₁; A₂B₂). Если прямая параллельна одной плоскости проекций, то на другой плоскости проекций её изображают прямой, параллельной оси проекций. Чтобы прямая AB стала линией уровня, то есть спроецировалась на новую плоскость П₄ в натуральную величину, новую горизонтально-проецирующую плоскость П₄ располагают параллельно прямой АВ и переходят от системы П₂ / П₁ к системе П₄ / П₁. На эпюре этому выбору плоскости проекций соответствует построение новой оси x₁₄, проведённой параллельно горизонтальной проекции А₁В₁ отрезка АВ. Новую ось x₁₄ проводят на произвольном расстоянии от проекции А₁В₁. В соответствии с приведённым выше правилом (│А₄А₁₄│= z_A; │B₄B₁₄│= z_B) строят новую проекцию А₄В₄ отрезка АВ. Длина проекции А₄В₄ равна длине отрезка АВ.

Задача II. Преобразовать чертёж так, чтобы прямая общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.

В рассматриваемой задаче прямая АВ (А₁В₁; A₂B₂) является прямой общего положения (см. рисунок 4.4), и новая плоскость, перпендикулярная этой прямой, в заданной системе П₂ / П₁ будет плоскостью общего положения и не может быть принята за плоскость проекций. Поэтому, необходимо выполнить последовательную замену двух (П₁ и П₂) плоскостей проекций.

Первую новую плоскость проекций, например П₄, выбирают параллельно данной прямой АВ, при этом решают рассмотренную выше первую задачу (см. рисунок 4.4). Затем от системы П₄ / П₁ следует перейти к новой системе П₄ / П₅, то есть вторую новую плоскость проекций П₅ выбирают перпендикулярно плоскости П₄ и прямой АВ, добиваясь того, чтобы прямая АВ стала проецирующей в системе П₄ / П₅ (АВ ^ П₅).

Откладывая на линии связи от новой оси x₄₅, проведённой перпендикулярно к проекции А₄В₄ прямой АВ, отрезок, равный расстоянию l_A=l_B, и с учётом правила замены плоскостей проекций прямая AB на плоскости П₅ спроецируется в точку А₅ ≡ В₅.

Задача III. Преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Плоскость общего положения α задана на чертеже треугольником АВС (А₂В₂С₂; A₁B₁C₁) в системе П₂ / П₁ (рисунок 4.5). Задача будет иметь решение, если новую плоскость проекций П₄ расположить перпендикулярно треугольнику АВС и одной из плоскостей проекций. Плоскость треугольника АВС должна содержать прямую, перпендикулярную к плоскости П₄. Такой прямой должна быть линия уровня (линия, параллельная одной из плоскостей проекций). Плоскость П₄ должна быть перпендикулярна к незаменяемой плоскости проекций П₁. Построенная прямая уровня, а вместе с ней и плоскость α(АВС) станут проецирующими относительно плоскости П₄.

В системе П₂ / П₁ (см. рисунок 4.5) в заданной плоскости α(АВС) построена горизонталь h, проходящая через точку А. Расположив П₄ ^ h, мы обеспечили выполнение двух условий: новая плоскость П₄ перпендикулярна плоскости П₁ и плоскости треугольника АВС. Новая ось x₁₄ проведена под прямым углом к h₁. Через горизонтальные проекции А₁, В₁, С₁ вершин треугольника АВС в системе П₄ / П₁ перпендикулярно новой оси x₁₄ проведены линии связи и, с учётом правила замены плоскостей проекций, на этих линиях от оси x₁₄ отложены отрезки z_A, z_B и z_C. На плоскости П₄ получены новые проекции А₄, В₄ и С₄ точек А, В и С. Точки  А₄, В₄ и С₄ образуют прямую α₄ – новую проекцию плоскости α, перпендикулярную плоскости П₄.

Задача IV. Преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня в новой системе плоскостей проекций.

Новая плоскость проекций, параллельная треугольнику АВС, не образует с плоскостями проекций П₁ и П₂ ортогональной системы. Решая задачу, необходимо выполнить последовательно две замены, то есть сначала от системы П₂ / П₁ перейти к системе П₄ / П₁, а затем от системы П₄ / П₁ перейти к системе П₄ / П₅. Первой заменой, переходя от системы П₂ / П₁ к системе П₄ / П₁, преобразуют заданную плоскость α в проецирующую, перпендикулярную плоскости П₄ (см. задачу № 3 на рисунке 4.5).

Для преобразования плоскости α в плоскость уровня, переходят от системы П₄ / П₁ к новой системе П₄ / П₅, то есть заменяют плоскость П₁ новой плоскостью П₅, расположенной параллельно плоскости α. Для этого проводят новую ось x₄₅ параллельно следу α₄ и через точки А₄, В₄ и С₄, принадлежащие следу α₄, проводят линии проекционной связи перпендикулярно оси x₄₅.

С учётом правила замены плоскостей проекций на линиях проекционной связи откладывают, соответственно, отрезки l_A, l_B, l_C и получают новую проекцию А₅В₅С₅ треугольника АВС на плоскости П₅. Плоскость треугольника АВС стала плоскостью уровня относительно плоскости П₅, а проекция А₅В₅С₅ плоскости α(АВС) будет натуральной величиной этого треугольника.

Решение задачи № 2 предполагает преобразование плоскости общего положения построенного в задаче № 1 плоского многоугольника в проецирующую плоскость и основывается на применении основной задачи III начертательной геометрии. В новой системе расстоянием от заданной точки P до плоскости многоугольника будет величина отрезка перпендикуляра, проведённого от проекции точки P до проекции точки F пересечения этого перпендикуляра с проецирующей плоскостью многоугольника. Проекцию отрезка PF перпендикуляра на незаменяемой плоскости проекций, согласно эпюрному признаку прямой уровня, следует строить параллельно новой оси.

Эпюрное решение задачи № 2 по определению расстояния от точки P до плоского многоугольника, а именно до плоскости квадрата, построенного по заданным условиям, приведено на рисунке 4.6.

Задача считается завершённой, если видимость перпендикуляра определена на всех плоскостях проекций. Вопрос об относительной видимости плоскости квадрата и перпендикуляра t сводится к установлению видимости двух скрещивающихся прямых, то есть стороны DA квадрата и перпендикуляра t. Видимость на каждой проекции определяют отдельно путём сопоставления положения конкурирующих точек, в которых проецирующий луч пересекает каждую из рассматриваемых скрещивающихся прямых, относительно плоскостей проекций.

Для определения видимости на фронтальной проекции, луч зрения  (см. рисунки 4.6 и 4.7) проводят перпендикулярно к плоскости П₂ через две конкурирующие относительно П₂ точки скрещивающихся прямых DA и t, то есть, соответственно, через точки 5 и 4. По направлению луча  сначала видим точку 5, принадлежащую прямой DA (y₅ > y₄), следовательно, на фронтальной плоскости проекций прямая DA будет видима, а прямая t на участке от точки F₂ до точки 5₂ – невидима.

Для определения видимости на горизонтальной проекции, луч зрения  (см. рисунки 4.6) проводят параллельно оси z через две конкурирующие относительно П₁ точки 2₂ и 3₂ скрещивающихся прямых D₂A₂ и t₂. По направлению луча  сначала видим точку 2₂, принадлежащую прямой DA (z₂ > z₃), следовательно, на горизонтальной плоскости проекций прямая DA будет видима, а прямая t на участке от точки F₁ до точки 3₁ – невидима.