Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

При решении позиционных задач надо помнить, что пересечением двух множеств являются точки, одновременно принадлежащие этим множествам. Отсюда: если прямая принадлежит плоскости, то их пересечением является сама прямая, так как все точки прямой одновременно принадлежат самой прямой и плоскости.

На рис. 4.7 заданы плоскость общего положения АВС и прямая общего положения DE. Для нахождения их точки пересечения воспользуемся общим алгоритмом.

Согласно алгоритму необходимо задать вспомогательную поверхность (в нашем случае плоскость) – посредник.

Для того чтобы плоскость-посредник пересекла заданные фигуры по прямым линиям, а это требование алгоритма, ее задаем через прямую DE.

1. Задаем горизонтально проецирующую плоскость α' = D'E'.

2. Пересечение плоскости α' с прямой DE – сама прямая, а с плоскостью АВС пересечение обозначим точками 1' 2' (см. рис. 4.6). Построим линию 1" 2" на фронтальной плоскости.

3. Отмечаем точки взаимного пересечения построенных линий: точка Т (Т") является результатом пересечения построенных линий D"E" с линией 1" 2".

4. Определяем видимость прямой DE и плоскости АВС. Для горизонтальной плоскости можно воспользоваться конкурирующими точками 2' = 3'. По направлению проецирующих лучей на горизонтальную плоскость проекций видим, что точка 2, принадлежащая ВС, расположена выше, следовательно, на горизонтальной проекции ВС – видимая, а DE от точки 3 до точки Т – невидимая. Аналогично определяется видимость для фронтальной плоскости. Подробно алгоритм решения этой задачи приведен в работе Андрющенко К.Е. «Начертательная геометрия. Учебный курс. Пересечение прямой с плоскостью».

Взаимное пересечение плоскостей общего положения

Линия взаимного пересечения двух плоскостей заданных тремя точками находится по принципу рассмотренной выше задачи. Для чего надо дважды решить задачу на пересечение прямой с плоскостью.

Подробно алгоритм решения этой задачи приведен в работе Андрющенко К.Е. «Начертательная геометрия. Учебный курс. Пересечение плоскостей».

Для нахождения линии пересечения плоскостей заданных следами надо найти две точки, одновременно принадлежащие плоскостям. Этими точками являются точки пересечения следов. На рис. 4.8 заданы плоскости α и β. Отмечаем точки пересечения следов N (N" N') и Т (Т" Т'). Линия ТN является результатом пересечения этих плоскостей.

Другие примеры пересечения плоскостей см. в работе [2, стр. 43].