2020-10-10
287
( форма обучения: очная, заочная, форма проведения занятий - обсуждение и решение задач )
1. Понятие производной функции в точке и ее геометрический смысл.
2. Основные правила дифференцирования и таблица производных.
3. Производная сложной, неявной, показательно-степенной функции.
4. Логарифмическое дифференцирование.
5. Производные высших порядков.
6. Понятие дифференциала и его геометрический смысл.
7. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
Задания для самостоятельной работы
1. Изучите понятие, определение и геометрический смысл производной функции в точке.
2. Рассмотрите теорему о зависимости между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
3. Законспектируйте и выучите схему вычисления производной.
4. Законспектируйте и выучите наизусть основные правила дифференцирования и таблицу производных элементарных функций.
5. Разберите понятие производной сложной и обратной функций, производной неявной функции, показательно-степенной функции.
|
|
|
6. Разберите вопрос производных высших порядков.
7. Изучите понятие дифференциала функции, его геометрический смысл, дифференциалы высших порядков.
8. Рассмотрите вопросы применения дифференциала к приближенным вычислениям.
9. Рассмотрите вопросы применения производной в экономике.
10. Выполните домашнее задание.
11. Законспектируйте весь изученный материал.
Рекомендации по выполнению заданий для самостоятельной
Работы и подготовке к практическим занятиям
Изучение темы начинайте с определения производной. Постарайтесь запомнить схему вычисления производной и геометрическую интерпретацию ее. Попытайтесь по схеме получить формулы для вычисления производных элементарных функций, при возникновении затруднений обратитесь к учебнику. Разберите правило дифференцирования сложной функции и постарайтесь довести навык в процессе дифференцирования до автоматизма. Обратите внимание на правила дифференцирования произведения и частного двух функций и запомните, что если один из сомножителей, а также делимое или делитель являются постоянными величинами, то эти правила применять не следует. В этом случае нужно воспользоваться свойством вынесения постоянного множителя за знак производной.
При изучении дифференцирования неявных функций используйте в качестве таковых изученные ранее уравнения кривых 2-го порядка, а также и произвольные функции.
При изучении дифференцирования показательно-степенной функции рассмотрите метод логарифмического дифференцирования, при котором сначала логарифмируют обе части выражения, задающего функцию, а затем дифференцируют полученное равенство и из него выражают производную. Рассмотрите также данный метод и для других функций, записанных с помощью действий деления, умножения, возведения в степень, извлечения корня.
|
|
|
Рассмотрите понятие дифференциала и его связь с производной. Запишите для тренировки таблицу дифференциалов элементарных функций. Обратите внимание, что дифференциал независимой переменной в точности совпадает с ее приращением, а дифференциал зависимой переменной только приближенно можно считать равным ее приращению. Разберите примеры использования дифференциала для вычисления корней, логарифмов, значений тригонометрических функций.
Рассмотрите вопрос вычисления производных и дифференциалов высших порядков.
Контрольные вопросы для самопроверки
1. Какое условие является более сильным: непрерывность или дифференцируемость функции?
2. Для каких функций применяется логарифмическое дифференцирование?
3. Что больше: приращение функции или ее дифференциал в данной точке? Приведите примеры.
4. В чем состоит геометрический смысл дифференциала функции?
5. Чему рана производная 5-го порядка от многочлена 4-го порядка?
Тема 3.2. Приложения производной
Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Интервалы монотонности и экстремум функции. Интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба. Асимптоты графика функции. Вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты. Исследование функций и построение графиков.
Практическое занятие «Приложения производной»
( форма обучения: очная, форма проведения занятия - обсуждение и решение задач, заочная)
1. Исследование функции на монотонность.
2. Исследование функции на экстремум.
3. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегиб.
4. Схема полного исследования функции и построение графиков.
5. Примеры использования производной в экономике.
