Вероятностно-статистический метод исследования

ТОЧНОСТИ ОБРАБОТКИ

К статистическим методам относятся исследования с исполь­зованием кривых распределения погрешностей и графоаналити­ческий метод (точечных диаграмм).

Первый метод применяется в условиях производства большо­го количества деталей, обрабатываемых как на предварительно настроенных станках, так и методом пробных рабочих ходов. Для его применения необходимо произвести выборку деталей. Коли­чество деталей в выборке влияет на точность оценки и определя­ется по специальной методике. По результатам измерения дета­лей выборки строится опытная кривая распределения, к которой по критерию согласия подбирается теоретический закон распре­деления.

Опытные кривые распределения строят следующим образом. По оси абсцисс откладывают измеряемую величину, например, диаметр деталей через определенные интервалы, а на оси ординат их количество, попадающее в эти интервалы, или частости. Час­тость — отношение числа деталей одного размера к общему чис­лу деталей выборки. Соединяя точки пересечения, получают ломаную линию, которая называется опытной кривой распреде­ления, или полигоном распределения деталей по размерам (рис. 6.1).

Определяют поле рассеивания размеров деталей как прибли­женную меру их точности. Поле рассеивания размеров определя­ется на основе рассчитываемых параметров соответствующего теоретического закона распределения.

Плотность вероятности или дифференциальная функция рас­пределения случайной величины непрерывного типа, подчиняю­щейся закону нормального распределения, имеет следующее вы­ражение:

Рис. 6.1. Опытная кривая или полигон распределения размеров

где х — переменная случайная величина; y(x) — плотность вероят­ности;  — среднее квадратичное отклонение случайной величины х от ;  — среднее значение (математическое ожидание) вели­чин х; е — основание натуральных логарифмов.

Дифференциальная функция нормального распределения гра­фически выражается в виде кривых холмообразного типа.

По виду кривой она симметрична относительно ординаты точ­ки х = , т.е. равновозможны одинаковые положительные и отри­цательные отклонения от . При этом меньшие отклонения более вероятны, чем большие, а весьма большие отклонения от центра группирования маловероятны. Положение кривой относительно начала координат и ее форма определяются двумя параметрами  и . С изменением  форма кривой не меняется, но изменяется ее положение относительно начала координат. С изменением  по­ложение кривой не изменяется, но изменяется ее форма. С умень­шением  кривая становится более вытянутой, а ветви ее сближа­ются; с увеличением , наоборот, кривая становится более при­плюснутой, а ветви ее раздвигаются шире (рис. 6.2).

Интегральный закон нормального распределения выражается в общем виде так:

Рис. 6.2. Влияние среднего квадратичного отклонения на форму кривой

 

Если случайная величина х следует нормальному закону, то достоверно, что она может принимать любые численные значения в пределах ± . Поэтому

Вероятность  — площадь под дифференциаль­ной кривой нормального распределения. Очевидно, что вероят­ность значения х (рис. 6.3) в любом другом интервале х1-х₂ мень­ше единицы и будет равна

Рис. 6.3. Кривая нормального распределения погрешности (размера)

Произведем замену переменной x путем подстановки  и, учитывая, что

получим

Новые пределы интегрирования заменили пределы х1 и х₂. Пра­вую часть уравнения можно представить в виде суммы двух интег­ралов

Знак «плюс» в последнем уравнении изменился на «минус» вследствие изменения пределов интегрирования с t1 -0 на 0- t1.

Интеграл  носит название нормированной функции

Лапласа, и его значения для различных  приведены в справочной литературе. Эта функция нечетная, следовательно, Ф(- t) = -Ф(t) и для отрицательных значений t табличные данные берутся со знаком «минус».

Таким образом, вероятность того, что случайная величина, под­чиняющаяся закону нормального распределения, при испытаниях примет значения в пределах х1 -х₂, может быть записана через Ф(t) следующим образом:

Нетрудно убедиться, что значения случайной величины х будут находиться в интервале от  до  с вероятностью, весьма близкой к единице. Действительно, в этом случае

так как .

Следовательно,

Согласно табличным значениям Ф(t), 2Ф(3) = 0,9973. Таким образом, вероятность появления случайной величины вне указан­ного интервала не превосходит q = 1 - Р= 1 - 0,9973 = 0,0027, т.е. очень мала.

Поэтому принято зону рассеивания случайной величины х, подчиняющуюся нормальному закону распределения, ограничи­вать пределами ±3 .

На основе использования кривых распределения погрешностей разработаны рекомендации по выбору методов, обеспечивающих достижимые среднеэкономические точности обработки.

Кроме закона нормального распределения используются и дру­гие законы. Так, если на размер обработки оказывает влияние установившийся износ инструмента, то распределение размеров деталей будет подчиняться закону равной вероятности (рис. 6.4 а).

Рис. 6.4. Законы распределения погрешностей (размеров)

Если имеет место ярко выраженный начальный износ, зона установившегося износа мала, а за ней идет зона ускоренного воз­растания износа, распределение размеров деталей может оказаться выраженным законом треугольника (Симпсона), как показано на рис. 6.4 б.

Распределение погрешностей взаимного положения, формы (отклонений от параллельности, перпендикулярности двух поверх­ностей, перпендикулярности оси детали к торцу, разностенности полых деталей) подчиняется закону эксцентриситета (Релея).

Метод кривых распределения универсален и нашел широкое применение в производстве. Однако по полученным кривым не всегда возможно определение причин, вызывающих изменение точности обработки. Метод не учитывает последовательности об­работки, фиксирует результаты законченного этапа, т.е. «обращен в прошлое». Кривые распределения не дают необходимой инфор­мации для управления точностью процесса обработки заготовок.

Графоаналитический метод оценки точности технологических операций следует применять для получения качественной харак­теристики точности технологических операций как предваритель­ный этап по установлению качественных значений показателей точности и стабильности и закономерностей их изменения в про­цессе обработки.

Оценка точности проводится путем построения графиков, на которых по оси абсцисс откладывают условные номера обрабаты­ваемых заготовок в последовательности их обработки (или время окончания их обработки), по оси ординат — значения погрешно­стей контролируемого параметра или его измеренные значения. Графики должны строиться поданным протоколов измерений.

В зависимости от цели исследования и вида технологического процесса на один график наносят результаты измерения деталей выборок, относящихся к одной или нескольким партиям деталей.

Схематическое изображение одной реализации случайного про­цесса x(t) изменения погрешностей контролируемого параметра приведено на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Точечная диаграмма отклонения размеров партии деталей

По данному графику можно судить о:

• соответствии контролируемого параметра установленному полю допуска (IT);

• характере изменения систематических погрешностей изготов­ления;

• предполагаемом моменте выхода контролируемого параметра детали за границы поля допуска;

• точности наладки оборудования на заданный размер.

Рассмотрим случай изготовления нескольких партий детали на одном оборудовании и возможной смене (или перезаточке) режу­щего инструмента. В этом случае на графике (рис. 6.6) изображено несколько реализаций случайного процесса x(t) изменения по­грешностей контролируемого параметра на одном оборудовании.

Рис. 6.6. Точечная диаграмма отклонения размеров

нескольких партий деталей

По данному графику можно судить о:

• соответствии точностных характеристик технологической сис­темы установленным полям допусков на контролируемый па­раметр;

• величине и виде распределения погрешности настройки обору­дования;

• величине и характере изменения систематических погрешно­стей в процессе обработки;

• величине и характере изменения величины случайной погреш­ности во времени.

Когда статистический анализ точности технологического про­цесса проводят с целью изучения влияния на точность обработки одного конкретного фактора, на график наносят две реализации по результатам измерения двух партий деталей, полученных при различных значениях исследуемого фактора максимально возмож­ной идентичности условий обработки по другим факторам.

Исследование влияния качества заготовок на точностные ха­рактеристики деталей должно проводиться путем нанесения на

один график двух реализаций, соответствующих погрешностям заготовок и погрешностям исследуемого параметра деталей, полу­чаемых из тех же заготовок.

Для преобразования точечной диаграммы в опытную диаграмму точности обработки, более четко характеризующую измерение размеров при изготовлении партии деталей, проводятся следующие построения:

• строится точечная диаграмма индивидуальных значений откло­нений размеров партии деталей, изготовленных при одной раз­мерной наладке (рис. 6.7);

Рис. 6.7. Опытная диаграмма точности обработки

• проводятся линии A1A1 и А2А2 соответственно через крайние верхние и нижние точки, остальные точки должны находиться внутри данной области;

• проводится линия A0A0 посередине между крайними линиями. Расстояние между линиями А1А1 и А2A2 определит рассеивание

_р (колебание) размеров отдельных деталей, а линия А0A0 характе­ризует закономерное изменение погрешности (систематически изменяющуюся погрешность).