Необходимое число наблюдений

При получении совокупности точек наблюдения большим доверием пользуются те, которые принадлежат меньшим ин­тервалам с большим числом наблюдений. С ростом количест­ва наблюдений эмпирическая линия регрессии будет освобож­даться от случайных зигзагов.

 

А. Необходимо установить некоторый оптимум между точ­ностью аппроксимации эмпирической зависимости и количе­ством наблюдений, т. е. определить объем экспериментальной частичной совокупности контрольных замеров выходного па­раметра, чтобы с определенной вероятностью Р можно было бы считать, что отклонение от действительного значения изучаемо­го свойства не превышает некоторой допустимой ошибки s.

В практике научных исследований обычно принимается Р = 0,95. Допустимая ошибка при исследованиях устанавли­вается в зависимости от природы изучаемого явления. В боль­шинстве случаев принимается  = 0,05 [23].

При известной также мере изменчивости h контролируемо­го технологического параметра — выраженном в процентах отношении среднеквадратического отклонения  к среднему

значению параметра (h= ), число контрольных точек может быть определено при помощи теоремы Ляпунова для независимых, одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией [19].

 

Б. Интервалы достаточно достоверных измерений должны захватывать достаточно длительную долю исследуемого про­цесса, отражающую существенные статистические свойства, т. е. необходимо учитывать изменение параметра во времени.

Для процессов испытаний, достаточно хорошо налаженных и проводимых в наземных условиях, воспроизводимые факто­ры имеют небольшую вариабельность. Поэтому для них та­кие величины, как вероятности попадания значений парамет­ра на нижнюю границу  и верхнюю границу  установ­ленного диапазона между уровнями факторов  и соответственно будут небольшими. Для таких процессов количество наблюдений можно определить, используя формулу Пуассона:

,

 

где  — кумулятивная вероятность того, что значение фактора появится на границе диапазона ров­но m раз;

 — равно среднему числу попаданий параметров на границу диапазона за все время измере­ний;

— среднее число попаданий на границу в еди­ницу времени;

T — промежуток времени, в течение которого про­водятся измерения.

 

Считается время наблюдения достаточным, если за серию

N =  измерений (  — временной интервал дискретных из­мерений) значение выходного параметра хотя бы один раз окажется на нижней и верхней границе интервала.

В исследованиях наиболее часто принимаются значения Рm от 0,94 до 0,99 (табл. 11).

 

 

Таблица 11

	0,94	0,95	0,96	0,97	0.98	0,99
	3,52	3,68	3.90	4,19	4,60	5,3

 

 

Поскольку  = аТ, а = р*  тогда

 

В. В разделах А и Б было рассмотрено 2 аспекта опреде­ления необходимого числа наблюдений в процессе испытаний: по вероятностным характеристикам относительно выходного параметра  и времени испытаний Т.

Необходимо также при обработке результатов испытаний учитывать погрешность дискретизации непрерывных функцио­нальных процессов, протекающих во времени. Выбранный ин­тервал измерений  или  может не соответствовать измен­чивости процесса (большой интервал), а также удорожать ис­пытания, когда получается большая частота измерений (не­большой интервал) [23].

Выбор интервала t обычно ограничивается снизу разре­шающей способностью контрольно-измерительной аппаратуры, т. е. необходимо выбрать такой интервал съема данных t, который был бы кратен дискретности работы всех используе­мых автоматических устройств.

Сверху интервал t ограничен информативностью аппрок­симирующей функции, задаваемой рядом дискретных значе­ний, о непрерывном исследуемом физическом процессе в пе­риод испытаний.

При выборе верхнего предела для t во внимание прини­маются такие факторы, как изменчивость параметров объек­та, нарушение условий, в которых проводятся испытания, и материальные затраты, связанные с их проведением.

 

Г. Если временные интервалы определяют опорные точки для высокодинамических процессов, то интервалы параметри­ческие по отдельным факторам испытаний чаще определяют малодинамичные, установившиеся процессы.

Как те, так и другие эффективно определяются с помощью интерполяционных полиномов Гаусса [31].

Программа в этом случае может быть рассчитана по мето­дике, предложенной в [32].

Нужно отметить, что при определении интервалов интерпо­лирования (фактически — уровней факторов при сложных за­висимостях; при наличии простых зависимостей можно обой­тись 2—3 уровнями) необходимо исходить из заданной точ­ности воспроизведения некоторой функции — фактора. При проведении испытаний изменение (воспроизведение) некоторо­го фактора по криволинейному закону производится с неко­торой теоретической погрешностью  интерполирования, воз­никающей вследствие замены эксплуатационной функциональ­ной зависимости аппроксимирующей функцией, положенной в основу данного стенда или просто имитатора. Наибольшая в пределах интерполируемого участка величина этой погреш­ности не должна превосходить некоторого допустимою зна­чения, определяющегося из уравнения:

 

, (29)

 

где  — допустимое значение погрешности интерполирования: — заданный допуск на воспроизведение теоретической функции, определенной по ТУ на вид испытаний;  — суммарная погрешность данного метода воспроизведе­ния без учета погрешности интерполирования.

 

Д. Поскольку данные испытаний представляют собой вы­борки статистических совокупностей, оцениваемые при помо­щи корреляционного и дисперсионного анализов, то имеет смысл ограничить снизу число наблюдений N по надежности коэффициента корреляции r или корреляционного отношения .

При известном r:

. (30)

При известном :

 [9], (31)

где а — число групп в статистическом комплексе при числе степеней свободы =a—1;  = n—а;

 — показатель достоверности (критерий Фишера).

2. ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ

2.1. Планирование автономных многофакторных испытаний системы управления поворотным соплом двигательной установки летательного аппарата

Данный вид испытаний в иерархической структуре зани­мает ступень наземных автономных испытаний для отдельных бортовых систем.

На современных ракетах-носителях (PH) в качестве орга­нов управления используются шарнирно закрепленные каме­ры сгорания двигательной установки (ДУ), при повороте ко­торых относительно продольной оси ракеты на некоторый угол возникают силы, управляющие ракетой по углам курса и тангажа [20].

Поворот камеры осуществляет рулевая машинка (РМ) — исполнительный орган такой системы (рис. 4). На работоспо­собность всей системы управления ДУ существенное значение оказывает величина шарнирного момента в поворотном узле камеры

M_ш=F*h,

где F — усилие, развиваемое РМ; h — плечо действия РМ.

 

 

Рис. 4. Схема камеры ДУ с шарнирно закрепленным соплом.

1. Камера ДУ. 2. Тяга управления соплом. 3. Сопло. 4. Мембрана.

Анализируя условия функционирования системы, можно отметить, что М или, что практически равносильно, F (в дальнейшем будем оперировать только характеристикой F, поскольку М_ш и F относятся через величину h — постоянный конструктивный параметр рассматриваемого типа ДУ) зави­сит от следующих факторов:

1. угла поворота камеры α;

2. угловой скорости ω вращения камеры, задаваемой ко­мандными органами системы;

3. перепада давления ∆р в отсеке ДУ, где установлена РМ, по отношению к внешней среде, т. е. атмосфере (вариан­ты заданий см. в приложении 1).

Последний фактор связан с конструктивной особенностью данной системы управления. Поскольку камера подвижна, то двигательный отсек должен закрываться не жестким днищем, как обычно, а своеобразной мембраной, достаточно гибкой для обеспечения необходимой подвижности камере ДУ. Вследст­вие своей упругости такая мембрана будет оказывать различ­ное воздействие на РМ в зависимости от величины ∆р на ак­тивном участке траектории [20].

Указанные факторы являются основными (см 1.2.4) и должны быть включены в ТУ на автономные наземные испы­тания данной системы и в ТЗ па проектирование соответству­ющего стенда.

В процессе выполнения курсовой работы студенты должны также исследовать, какие факторы в процессе эксплуатации данной системы могут воздействовать на нее второстепенно и определить их место в классификации по 1.2.4. Для этого удобно рассмотреть процесс работы системы как некоторое физическое явление и составить его концептуальную (фено­менологическую) схему. В основе такой схемы положена структура физических связей, наложенных на испытываемый объект (процесс), их возможные взаимодействия. При этом можно показать их классификационную подчиненность, как внешних факторов.

В качестве примера можно привести концептуальную схе­му на рис. 13 в разделе 6, посвященном летным испытаниям или на рис. 7. Существенно здесь также разработать и ис­пользовать в исследовании информационную модель испыта­ний. Информационная модель процесса обычно определяется как совокупность текущей информации о состоянии объекта (испытания, исследования), о воздействиях на него со стороны внешней среды, о положении командных органов, поступающей от специальных средств отображения информации (СОИ) [17], с указанием их структурных связей (см. рис. 9 и рис. 15).

Различаются два уровня концептуальной модели: постоян­ная и оперативная концептуальные модели [17]. Постоянная концептуальная модель концентрирует всю совокупность зна­ний и практического опыта о данном типе явлений (процес­сов), например, о процессе взаимодействия окружающей сре­ды и летательного аппарата в процессе эксплуатации [34, 35].

При проведении конкретных испытаний концептуальная мо­дель выступает на оперативном уровне, на котором выделя­ются лишь сведения, определяющие данный процесс в ука­занном промежутке времени. Сравнивая определенными мето­дами (раздел 1.4) данную модель с информационной моделью в контрольные отрезки времени, можно выработать набор действий, т. е. некоторый (оптимальный) технологический про­цесс, позволяющий переводить объект в заданное состояние.

Неточное или неполное отражение исследуемого процесса информационной моделью может отрицательно сказаться на содержании оперативной концептуальной модели, привести к выбору ошибочных операций в технологическом процессе.

Постановка задачи: при проведении данной работы, кроме определения факторного состава испытаний необходимо вы­полнить все этапы проектирования технологического процес­са испытаний по разделу 1.1.2. Из них важнейшим является этап разработки плана проведения испытаний в соответствии с положениями теории планирования эксперимента (см. 1.1.1 и 1.4.2).

 

 

Выбор уровней факторов. Допустим, для исследуемой си­стемы основные факторы заданы следующими количествен­ными характеристиками: для угла поворота камеры ДУ от —10° до +10°; для угловой скорости три дискретных значе­ния ω₁= 5 град/с; ω₂= 10 град/с; ω₃ = 20 град/с; для перепада давлений от —2,0 МПа до +2,0 МПа.

Для угловой скорости очевидны 3 дискретных уровня, опре­деляемых схемой привода ДУ — ω₁, ω₂, ω₃.Для угла поворота диапазон изменения фактора удобно разбить на ряд одинако­вых интервалов в количестве, достаточном для определения неизвестной кривой (см. 1.2.2 п. 3). Допустим, контрольное оборудование стенда позволяет без больших динамических ошибок фиксировать значения функции отклика — усилие на РМ — через каждые 2 градуса поворота камеры. Поскольку вид  неизвестен, примем в первом приближении величину интервала для α — 2 градуса; получим 11 уровней в заданном диапазоне α (от +10° до —10°). Так же определим величину интервала для ∆р, равную 0,5 МПа. Получим 9 уров­ней в заданном диапазоне ∆р. Естественно, что после первого испытания определится вид функциональных зависимостей, и необходимо будет уточнить величины интервалов и их ко­личество (для нашего случая уменьшить, см. 1.4.4, п. А, Г).

Порядок проведения испытаний. Анализируя сочетаемость уровней факторов, отметим, что ограничения здесь отсутст­вуют. Все сочетания выбранных факторов в наземных услови­ях фактически осуществимы, но в данном эксперименте необ­ходимо производить последовательное изменение факторов а и Ар на всех трех уровнях со отдельно, что соответствует эксплуатационным режимам системы. Таким образом, данные испытания являются последовательным (не рандомизирован­ным)¹ экспериментом по отношению ко всем факторам.

Анализ. Оптимизацию испытаний, исходя из выводов пре­дыдущего раздела, проведем по операциям контроля и обра­ботки результатов. Данные операции, как правило, трудоем­кие и занимают большой период времени. Оптимизировать указанные операции возможно по времени, применив соот­ветствующие планы по обработке результатов испытаний (см. 1.1.1 и 1.4.2). Такой план производит упорядочение точек факторного пространства и, таким образом, конкретизируют­ся контрольные точки замеров величин функции отклика (для нашего случая F_i), сокращается их количество и время на проведение анализа.

 

^[1] При этом план контроля процесса может быть и рандомизирован за счет сокращения количества контрольных точек. Рандомизация в данном случае способствует сохранению точности анализа результатов за счет слу­чайного расположения точек в факторном пространстве.

Для поставленной задачи возможно применить план ПФЭ (1.1.1), но он требует большого количества замеров величины функции отклика (n = 3*9*11 =297 — при однократном вос­произведении испытаний в соответствии с принятыми уровня­ми факторов). Более эффективно здесь применение комбина­ционных квадратов [22]. В этом случае число замеров сокра­щается до п = 9*3 = 27¹. Для нашего случая квадрат преоб­разуется в прямоугольник со сторонами 9 строк и 3 * 11 = 33 столбца.

Необходимо отметить, что данный метод дает наилучшие результаты при использовании нечетного числа уровней. Ре­зультаты представляются в виде эмпирических зависимостей функции отклика от каждого фактора при постоянных урав­новешенных значениях других факторов, соответствующих их среднему уровню. Наиболее точное восстановление эмпириче­ских зависимостей будет получено при одинаковом количест­ве уровней для каждого фактора.

Для нашего случая точность статистической обработки данных испытаний будет занижена из-за неуравновешенности уровней, но в первом приближении допустим и такой анализ, поскольку он позволяет установить тенденции исследуемых зависимостей но линиям регрессий.

Для построения комбинационного плана удобно восполь­зоваться вспомогательным прямоугольником со сторонами 9*11, в котором отметим 27 контрольных клеток (по числу со­четаний факторов с наименьшим количеством уровней 9*3 = 27 (табл. 12).

Разметку контрольных клеток в табл. 12 проводим таким об­разом, чтобы данным числом замеров охватить все области сочетаний уровней — от низших до высших равномерным об­разом для каждого фактора.

Окончательно развернем вспомогательный прямоугольник по фактору ω и получим следующий комбинационный прямо­угольник (табл. 13).

Отметим, что вследствие неравномерности количества уровней по факторам α и∆р остаются незаполненными в пря­моугольнике 6 столбцов 4 и 8 уровней по α. В данном случае это влияет на точность дальнейшей расшифорвки данных, но незначительно, поскольку выбранное количество уровней — 9 позволяет достаточно точно воспроизвести даже сложную кривую.

Конечную задачу построения эмпирических зависимостей исследуемого процесса возможно произвести, применив моди­фикацию метода случайного баланса [21], [22].

 

 

^[1] В промышленности используются технологические процессы испытаний подобных объектов, контролируемые по 1800 точкам функции отклика.

Таблица 12

α ∆р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	ω1					ω2					ω3
2		ω2			ω3						ω1
3				ω2				ω3	ω1
4			ω2				ω1			ω3
5		ω1				ω3				ω2
6		ω3			ω1				ω2
7			ω1	ω3				ω2
8	ω2						ω3
9	ω3					ω1					ω2

 

 

Метод заключается в следующем. Не проводя факторного анализа расчетным путем (1.4.1), определяют основные зави­симости графически по комбинационным квадратам (прямо­угольникам). Затем из построенной таблицы выбираются дан­ные по уровням какого-либо одного фактора. Поскольку таб­лица строилась так, чтобы по разным уровням разных факто­ров было (по возможности) равное количество опытных дан­ных, то, следовательно, при группировке только по одному фактору будет уравновешено влияние остальных (для нашего случая здесь будет погрешность уравновешивания, о чем уже говорилось выше). Т. Е. полученная зависимость будет определяться влиянием одного фактора при нахождении всех про­чих на некотором своем среднем уровне.

 

 

ω	1											2											3
α     ∆р	1 α1=-10о	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	221																0																-525
2											-500		226														44
3									-221						68															-905
4							-102							45																		-115
5		51																			-11							0
6					0															-135				47
7			145																-186							0
8										-225		416																	-194
9						17																-795	864

Таблица 13

 

Наиболее эффективно можно произвести данную опера­цию, группируя вначале по наиболее сильному фактору. Опре­деляем затем сглаживающую эмпирическую формулу и про­изводим пересчет всех первичных данных на среднее значение первого фактора. Тогда его действие нейтрализуется, и мож­но будет производить вторичную группировку пересчитанных данных по второму фактору. При этом из-за нейтрализации самого фактора разброс данных уменьшается, и зависимость пересчитанных результатов от второго фактора выступает бо­лее ясно и т. д.

По предлагаемой последовательности произведем преобра­зования таблицы 13. Представим ее по парам факторов ∆р и ω; α и ω.

Таблица 14

∆р ω	1	2	3	4	5	6	7	8	9	ср.
1	221	-500	-221	-119	-51	34	145	-255	17	-81
2	0	226	68	45	-11	-135	-186	416	-795	-41
3	-525	161	-90	-115	0	47	0	-317	864	+3
ср.	-101	-38	-81	-63	-21	-18	-14	-52	29	-120

 

В таблице 15 выпали по вышеуказанным причинам 4 и 8 уровни фактора α. Построим приближенные зависимо­сти F₁=f(a), F₂=f(ω), F₃=f(∆р) на рис. 5. Здесь, видимо с минимальной погрешностью можно аппроксимировать F₂ и F₃ соответствующими прямыми и, найдя сглаживающие эмпи­рические зависимости для них, произвести пересчет табл. 14 и табл. 15. Для F ₂ очевидна из рис. 5 зависимость F₂ = = —95 + 40Х_ω  , где Х _ω —номера уровней ω. На основании за­писанного уравнения пересчитаем табл. 14, получим табл. 16.

Пересчет ведется следующим образом. К значениям Fi первого уровня ω (1 строчка таблицы 14) прибавляем +40 единиц, а от значений Fi 3-го уровня ω вычитаем 40 единиц, т. е. выводим данную зависимость на средний уровень, соот­ветствующий ω₂, о чем и свидетельствуют средние значения F в крайнем правом столбце табл. 16.

 

 

 

  Таблица 15

ω| a	1	2	3	5	6	7	9	10	11	ср.
1	221	-51	145	34	17	-119	-221	-255	-500	-81
2	416	226	45	68	0	-186	-135	-11	-795	-41
3	864	47	161	0	0	-90	-317	-115	-525	+3
ср.	500	74	117	34	6	-132	-224	-127	-607	-40

 

Таблица 16

ω|∆р	1	2	3	4	5	6	7	8	9	ср.
1	261	-460	-181	-79	-11	74	185	-215	-57	-41
2	0	226	68	45	-11	-135	-186	416	-795	-41
3	-565	121	-130	-155	-40	7	-40	-357	824	-37
ср.	-101	-38	-81	-63	-22	-18	-14	-52	29	-40

 

В разделе 1.4.2 определена эмпирическая зависимость F₃=f( ∆р ) методом наименьших квадратов: F₃ = 2,94∆р —40,1. Формула была получена для∆р в кПа, переведя ее на норми­рованные уровни для табл. 16, запишем F₃ = 14,7Х _∆р — 40,1. Данная формула представляет сглаживающую эмпирическую зависимость для фактора∆р. Производим пересчет табл. 16, Средним уровнем является пятый столбец. Значения F, в нем оставляем прежними, а в каждом соседнем столбце изме­няем (с 6 по 9 — вычитаем, с 1 по 4-—прибавляем) на величи­ну 14,7*α, где α — номер столбца от среднего. Например, в 8 столбце от всех 3-х значений нужно вычесть 14,7*3≈44, соответственно, к значениям F_{i В}о втором столбце прибавить 44. Исключив пересчетами влияние факторов∆р и ω, перестроим таблицу 17 для пары факторов α и ω, откуда уточним график зависимости F₁ = f(a) на рис. 5.

 

 

 

 

 

Анализируя табл. 14 и табл. 16 заметим, что средние значе­ния Fi по факторам ω и ∆p практически не менялись, следо­вательно, их функциональные зависимости определяют эмпи­рические формулы сглаживания. Остается определить зави­симость F₁=f(α). Эта операция с использованием метода наи­меньших квадратов приведена в разделе 1.4.2. Ее отличие только в том, что в приведенном примере брались данные табл. 15, т. е. не исправленные. В курсовой работе данный рас­чет необходимо проводить по исправленным данным типа табл. 18. Затем нужно исправленные данные нанести на но­вый график, показанный на рис. 5, для получения приближен­ных зависимостей.

Таким образом, задача по определению факторного соста­ва испытаний и нахождению соответствующих эмпирических зависимостей решена. Применяемые действия возможно алго­ритмизировать и обеспечить машинную обработку результа­тов испытаний.

По полученным зависимостям возможно также контроли­ровать функционирование узлов (агрегатов, исполнительных органов), воспроизводящих эти зависимости. В производстве таких зависимостей не выделяют, а исследуют суммарные графики, в которых сложно уловить взаимосвязи отдельных узлов (органов) испытываемой системы.