Как уже упоминалось в 1.2.1, такой анализ заключается в выявлении связи распределения значений выходного параметра с действующими на объект испытаний факторами, ее формы, направления, степени влияния.
Общее выражение для коэффициента корреляции из (1) можно представить как:
(15)
где п — количество значений выходного параметра;
— координаты точки замера относительно осей, проведенных через центр распределения:
Форма связи может быть определена с помощью уравнений регрессии или эмпирических формул [22].
РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ
Нормальные уравнения регрессии составляются по виду (1.3.4.) в количестве, соответствующему количеству неизвестных коэффициентов bi. Полученная система уравнений решается обычными математическими методами (метод исключения, метод наименьших квадратов — МНК).
Определение эмпирической формулы линейного вида.
Если числовые данные испытаний укладываются графически достаточно близко от проведенной некоторым образом прямой, то можно предположить существующую здесь линейную зависимость:
|
|
у=ах+b.
Пример.
При испытаниях на стенде системы управления поворотным соплом двигательной установки ракеты [4] были получены данные, определяющие зависимость усилия на штоке рулевой машинки (Р) от перепада давления между двигательным отсеком и средой, разделяемых защитной мембраной ( р):
Таблица 5
р,[кПа] | —20,0 | —15,0 | 10,0 | —5,0 | 0 | +5,0 | + 10,0 | + 15,0 | +20 |
P, [H] | — 101 | —77 | —81 | —57 | —21 | —29 | — 13 | — 11 | + 29 |
На рис. 2 точки расположились сравнительно близко к проведенной прямой. Следовательно, можно считать зависимость P=f( p) линейной.
Этот же вопрос можно решить аналитически.
Допустим сначала, что точки графика точно удовлетворяют формуле линейной зависимости,
т. е.
Вычтем из каждого равенства (начиная со второго) предыдущее:
или
=
где — первые разделенные разности [27];
i= 1; 2;...; (n-1)
. (34)
Рис. 2. Экспериментальная зависимость Р = f( p).
Таким образом, для линейной формулы должно выполняться условие (17). Но при наличии эмпирической формулы (16) равенства (17) будут приближенными, но мало отличающимися (колеблющимися) друг от друга.
По табл. 6 вычислим разности по формулам (16).
Из табл. 6 видно, что разности колеблются в сравнительно небольших пределах от +8,0 до —1,6, исключая выпадающее значение . Следовательно, искомая эмпирическая формула имеет вид линейной зависимости.
В нашем примере значения , расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию. Обозначим = h — шаг аргумента.
Тогда формула (16) примет вид:
|
|
, откуда .
Таблица 6
№ | р | Р | Pi+1 | ||
1. | —20,0 | — 101 | — 15-(—20) = +5,0 | —77—(—101) = +24 | (+ 24): (+5,0) = +4,8 |
2. | — 15,0 | —77 | — 10—(—15) = +5,0 | —81—(—77) = —4 | (-4): (+ 5,0) = —0,8 |
3. | 10,0 | —81 | —5—(—10) = +5,0 | —57—(-81) = +24 | + 1,8 |
4. | —5,0 | —57 | + 5,0 | —21 —(—57) = +36 | + 7,2 |
5. | 0 | —21 | + 5,0 | —29— (—21) = —8 | —1,6 |
6. | +5,0 | —29 | + 5,0 | — 13—(—29) = +16 | + 3,2 |
7. | +10,0 | — 13 | + 5,0 | — 11—(—13) = +2 | +0,4 |
8. | +15,0 | — 11 | + 5,0 | +29—(—11) = +40 | + 8,0 |
9. | +20,0 | +29 |
|
Обозначим и получим
(18)
Величины называются первыми неразделенными разностями. Условие (17) перепишем:
=…= . (19)
Т. е. первые неразделенные разности должны мало отличаться друг от друга, что мы отмечаем в табл. 6.
В результате подстановки значении переменных р и Р в уравнении линейной зависимости появляются уклонения:
.
Используя МНК, находим такие значения параметров а и b, при которых сумма квадратов уклонений была бы минимальной, т. е.:
2+
min. (20)
Для этого определим частные производные
Приравняв частные производные нулю, получим нормальные уравнения:
;
. (21)
Следует убедиться в том, что уравнения (21) определят значения параметров при минимуме функции (20). Для этого берем частные производные 2-го порядка:
;
; (22)
и составляем дискриминант (определитель) D:
=
или D > 0 тогда, когда
или n
Выведенная разность не может равняться нулю, поскольку определитель системы (22)
отличен от нуля, т. к. система имеет решение.
Следовательно, D>0 и >0, что указывает на наличие минимума функции (37).
Проведем расчет параметров а и b методом МНК согласно формулам (22) по данным из табл. 7.
Таблица 7
№ | р, [кПа] | P,[H] | р2 | Р. р | Р | ||
1. | —20,0 | —101 | + 400,00 | + 2020.0 | —98,9 | + 2,1 | + 4,41 |
2. | — 5,0 | —77 | + 225,00 | + 1155.0 | —84,2 | —7,2 | +50.9 |
3. | —10,0 | —81 | + 100,00 | + 810,0 | —69,5 | + 11,5 | + 132,1 |
4. | —5,0 | —57 | + 25,00 | +285,0 | —54,8 | +2,2 | + 4,84 |
5. | 0 | —21 | 0 | 0 | —40,1 | — 19.1 | +366,4 |
6. | + 5,0 | —29 | + 25.00 | — 145.0 | —25,4 | + 3.6 | + 10,29 |
7 | + 10,0 | — 13 | + 100.00 | — 130.0 | — 10,7 | + 2,3 | + 5,29 |
8. | + 15.0 | — 11 | + 225.00 | — 165.0 | + 4,0 | + 15,0 | +225 |
9. | + 20,0 | + 29 | + 400,00 | +580,0 | + 18,7 | — 10.3 | + 103.1 |
0 | —361 | + 1500,00 | + 4410,0 | —360,9 | + 0,1 | + 902,03 |
Нормальные уравнения по данным табл. 7 будут иметь вид:
Откуда
a= =-2,94; b=- ≈-40,1
Таким образом, искомая эмпирическая формула будет:
Р = 2,94∆р —40,1.
Подставим сюда значения ∆р для определения значении в таблице 11, затем рассчитаем уклонения . Здесь сумма квадратов уклонений будет минимальная, причем = 0 (в табл. 11 = 0,1, что объясняется округлениями), т. к. сумма равенств, определяющих уклонение:
Но левая часть уравнения совпадает с левой частью второго нормального уравнения (21) после переноса . Определение эмпирических формул, приводящихся к параболическому виду. В этом случае экспериментальные данные должны удовлетворять формуле (или могут быть средние значения функции отклика из плана однофакторного эксперимента или двухфакторного при постоянном значении одного из факторов):
у = а + bх + с. (23)
При определении параметров параболической формулы методом МНК используется система нормальных уравнений, выведенных из условия = min:
(24)
Эмпирические формулы, приводящиеся к линейном виду.
Расчет подобных формул производится, если не выполняются условия принадлежности исследуемых характеристик к линейной или параболической.
Рассмотрим 6 формул, наиболее часто встречаемых в формализованных описаниях процессов испытаний (см. 1.4.2).
Для каждой формулы установим свойство, которому удовлетворяют два крайних значения зависимой переменной (т. е. и ) и некоторое промежуточное значение .
1. у = аlgx+b (25)
Подставим крайние значения и аргумента
Возьмем среднее геометрическое из двух крайних значений аргумента
|
|
, этому значению будет соответствовать следующее значение зависимой переменной
или
Итак, для функции (25) должно выполняться условие
где — значение функции при .
2. у = а .
Также, как и в предыдущем случае, подставляем крайние значения переменных
;
или , откуда это есть условие, которому удовлетворяет рассматриваемая формула.
3. у = а .
Подстановка крайних значений дает:
, .
Берем среднее арифметическое аргумента:
, для которого или , откуда — свойство функции у = а .
Сводные данные по аналогичным расчетам для других формул приведены в табл. 8.
Вид эмпирической формулы выбираем, пользуясь таблицей 8. По данным измерений находим и . Затем для этого же значения определим , используя данные испытаний. Если будет равно какому-нибудь , то .
Таблица 8
№ формулы | Формула | ||
1. | |||
2. | |||
3 | |||
4. | |||
5. | y-a+ | ||
6. |
Причем xi соответствует ; откуда,
применяя линейную интерполяцию,
(26)
Таким образом, для получим 2 значения функции и . Если они мало отличаются друг от друга, то выбранная формула подтверждается, в противном случае нужно испытывать следующую за исследованной формулу таблицы 8. Из испытанных формул выбирается та, для которой разность () будет меньше.
Вид зависимостей и их параметры можно определить по формулам, выведенным по МНК, из приложения 3 к ГОСТ 16.305—74.
Пример.
Определить вид эмпирической формулы, выражающей зависимость между усилием на штоке рулевой машинки Р и углом отклонения а поворотного сопла двигательной установки летательного аппарата по эмпирическим данным в таблице 9.
Таблица 9
Р, [Н] | +500 | +74 | +95 | + 34 | +22 | +6 | -148 | -138 | -178 | -141 | -607 |
,[град] | — 10 | —8 | —6 | —4 | —2 | 0 | +2 | +4 | +6 | +8 | +10 |
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
По виду экспериментальной кривой на рис. 3 можно предположить, что мы получили график степенной функции типа 2 (см. табл. 8), т. е.
|
|
у = — а или Р = —a
Рис. 3. Экспериментальная зависимость Р = f( ).
По предложенной выше методике определяем: . Поскольку график экспериментальной кривой расположен во 2 и 4 квадрантах, а определение параметров а и b связано с вычислением логарифмов, поэтому мы условно отразим обе ветви графика в 1-ый квадрант и проведем все расчеты для функции Р=+a При этом нужно учесть для удобства расчетов смещение графика по ординате на +6 при = 0, вычтя 6 из взятых значений функции (см. табл. 10).
Таблица 10
Ветвь из 4-го квадранта | Р | 613 | 147 | 184 | 144 | 154 | 0 |
Ветвь из 2-го квадранта | Р | 494 | 68 89 | 28 | 16 | 0 |
| 10 | 8 6 | 4 | 2 | 0 | |
№ | 1 | 2 3 | 4 | 5 | 6 |
Тогда , откуда при в табл. 10 , т.е. а cледовательно выбор формулы сделан верно.
Расчеты параметров а и b проведем по формулам, выведенным при помощи МНК (ГОСТ 16.305—74)
6 6 6
6 6 6
Для удобства можно составить таблицу почленного расчета формул. Окончательно:
lgα=
b=
Получили следующее аналитическое выражение экспериментальной зависимости (Р—b)= — 16,2* . Для первого приближения такое выражение достаточно адекватно отражает зависимость P=f(a) за исключением концов графика. Последнее говорит о более сложной зависимости типа у = (x)* (x) и о проведении дополнительных расчетов либо по усложненной эмпирической формуле, либо по системе нормальных уравнений. В нашей работе ограничимся первой моделью.