Изучение распространения электромагнитных волн вдоль проводов. Определение длины и частоты электромагнитной волны с помощью электрической двухпроводной линии

Омск – 2013

 

Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Электричество и магнетизм», часть II, студентами физического и химического факультетов Омского государственного университета.

 

Исправленное и дополненное издание.

 

 

Переработано и дополнено: М.П. Ланкина, Е.А. Филатов, И.С. Позыгун,

Серопян Г.М., Сычёв С.А.

 

Омский госуниверситет. Омск, 2013.

 

Предлагаются методические указания к выполнению студентами физического и химического факультетов цикла из 3-х лабораторных работ по курсу «Электричество и магнетизм».

 

 

 

Работа № 11

 

Изучение электрических процессов в простых линейных цепях.

 

Цель работы: исследование коэффициента передачи и сдвига фаз между силой тока и напряжением в цепях, состоящих из последовательно соединенных: а) двух резисторов, б) резистора и конденсатора, в) резистора и катушки индуктивности.

Приборы и материалы: осциллограф, низкочастотный генератор, источник питания, кассета ФПЭ-09, соединительные провода.

 

При рассмотрении электрических процессов в цепях переменного тока следует иметь в виду, что существует два типа сопротивления: активное и реактивное. Последнее связано с наличием в цепи конденсаторов и катушек индуктивности. Соответственно различают реактивное емкостное и реактивное индуктивное сопротивления. Реальные элементы цепи обычно обладают одновременно и активным и реактивным сопротивлением. Если активное сопротивление много больше реактивного, то последним можно пренебречь. Такой элемент цепи называют резистором.

Существуют элементы цепи, обладающие только емкостным или только индуктивным сопротивлением. Элементы цепи, обладающие только одним типом сопротивления будем называть идеальными. В некоторых случаях реальный элемент цепи можно представить как комбинацию из нескольких идеальных. Элементы электрических цепей подразделяют на линейные и нелинейные.

Элемент называется линейным, если его сопротивление не зависит от силы протекающего тока или приложенного напряжения. Электрические цепи, составленные из таких элементов, называют линейными. Электрические процессы, характеризующие такую цепь (рис.1), описываются алгебраическими или дифференциальными уравнениями.

 

              

Рис. 1.

 

Пусть внешнее напряжение изменяется по закону косинуса:

 

                                                                (1)

( -амплитуда, w-циклическая частота колебаний напряжения). Оно равно сумме падений напряжений на каждом из элементов цепи R, L, C:

                                                             (2)

Здесь

, ,                                    (3)

где R- сопротивление резистора, L- индуктивность катушки, С- емкость конденсатора, q- заряд на пластинах конденсатора. Соотношение (2) с учетом (1) и (3) приводит к дифференциальному уравнению:

,                                       (4)

описывающему вынужденные колебания в цепи (рис.1). Учитывая, что , получим уравнение:

                                        (5)

где , .

Уравнение (5) совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний. Решение уравнения имеет вид:

                                                           (6)

где

,

Подстановка значений  и дает

                                               (7)

 

                                                           (8)

Продифференцировав (6) по времени найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях и запишем это уравнение в виде:

                                                                         (9)

где  есть сдвиг по фазе между током и напряжением. Отсюда следует:

                          (10)

 Согласно (7) получаем выражение для :

                                     (11)

Сила тока отстает по фазе от напряжения на угол j, который зависит от параметров цепи и частоты (10). Если j < 0, то происходит опережение силы тока от напряжения по фазе, и наоборот. Выражение

,                                                (12)

стоящее в знаменателе формулы (11), называется полным электрическим сопротивление цепи или импедансом.

Рассмотрим частные случаи:

1. Цепь содержит только активное сопротивление (L=0, C=¥). Тогда

,  ,                                                     (13)

2. Цепь содержит только индуктивное сопротивление (R=0, С=¥). Тогда

, ,                                                  (14)

т. е. сила тока в индуктивном сопротивлении отстает от напряжения на угол p/2. Величина - реактивное индуктивное сопротивление. Если L выразить в генри, w- в с^-1, то X_L- будет выражено в омах. Индуктивное сопротивление зависит от частоты протекающего через элемент тока (рис.2а).

3. Цепь содержит только конденсатор (R=L=0). Тогда

, ,                                        (15)

т. е. сила тока, текущего в цепи опережает напряжение на конденсаторе на угол p/2. Величина - реактивное емкостное сопротивление. Если С выразить в фарадах, w- в с^-1, то X_С- будет выражено в Омах. Емкостное сопротивление зависит от частоты протекающего в цепи тока (рис. 2б).

                

Рис.2.

 

4. Активное сопротивление R=0, но C≠0, L≠0, тогда

,                                     (16)

Величина

                                                (17)

- полное реактивное сопротивление. Формулы (10) и (12) с учетом (17) записывается в виде:

                                                                         (18)

 

                                                                   (19)

В работе исследуются электрические процессы в цепях, составленных из последовательно соединенных элементов: а) двух резисторов с сопротивлениями R₁ и R₂ (цепь RR, рис.3а); б) резистора R₂  и конденсатора С (цепь RC, рис. 3б; в) резистора R₂  и катушки индуктивности L (цепь RL, рис. 3в).

       Напряжение U на входе равно ЭДС генератора; элементы R₁, R₂, L, C, предполагаются идеальными, а электрические процессы достаточно медленными «T, где Т – характерное время изменения напряженности электрического поля, τ – время распространения электромагнитного возмущения вдоль цепи.

Электрические цепи характеризуются коэффициентом передачи К, представляющим собой отношение амплитуды напряжения U₁ на выходе цепи к амплитуде напряжения U₀ на входе:

                                                                        (20)

 Напряжение U₁ на выходе цепи равно падению напряжения на резисторе R₂:

                                                                          (21)

т. е. прямо пропорционально силе тока I в цепи и находится в одинаковой фазе с ним. С учетом (21) формула (20) принимает вид:

                                                                        (22)

Из (22) следует, что для изменения сдвига фаз между силой тока I в цепи и входным напряжением U₀ достаточно измерить сдвиг фаз между напряжениями U₁ и U₀.

Для схем, изображенных на рис.3, найдем аналитический вид выражений для коэффициента передачи К и угла сдвига фаз φ. Для этого воспользуемся формулами (11), (18) и (22), подставляя в них соответствующие каждой схеме сопротивления, напряжения и силы токов.

      

Рис.3.

 

1. Цепь RR (R=R₁+R₂, X_L=X_C=0):

                                                                   (23)

                                                                                 (24)

                                                                    (25)

 

2. Цепь RC (R=R₂, X_L=0, X_C=1/ωC):

                                                     (26)

                                                                 (27)

                                                          (28)

 

3. Цепь RL (R=R₂, X_L=ωC, X_C=0):

                                                             (29)

 

                                                                          (30)

                                                             (31)

 

Описание установки.

Принципиальная схема установки представлена на рис.4.

 

Рис.4.

 

Установка состоит из кассеты ФПЭ-09, генератора PQ, осциллографа PO, источника питания ИП.

В кассете ФПЭ-09 собраны элементы цепей, входящие в состав изучаемых электрических схем (рис.5). В ней находится также коммутатор А. Напряжение U₀ со входа изучаемой цепи подается на вход ВХ1 коммутатора, а напряжение U₁ с выхода изучаемой цепи - на вход ВХ2 коммутатора. С выхода коммутатора исследуемые напряжения подаются на вход Y осциллографа. Коммутатор с достаточно высокой частотой подает на вход осциллографа то напряжение U₀, то U₁. Поэтому на экране однолучевого осциллографа можно одновременно наблюдать оба сигнала. Для получения устойчивого изображения осуществляется синхронизация изучаемых сигналов входным напряжением, для чего с гнезда Х кассеты ФПЭ-09 подается сигнал на гнездо  синхронизации осциллографа. Генератор PQ является источником гармонической ЭДС. Осциллограф PO служит для измерения амплитуды напряжения на входе цепи и амплитуды напряжения на ее выходе, а также для измерения угла сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением. Источник питания ИП предназначен для питания схемы коммутатора. Питание генератора PQ, осциллографа PO и источника питания ИП осуществляется от цепи переменного тока 220В; питание коммутатора А осуществляется от источника питания ИП 12В.

 

 

 

Рис.5.

 

Задание 1. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей два резистора.

1. Замкните с помощью кнопочного переключателя R на панели кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор R₁.

2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа при частоте 20кГц. Убедитесь, что угол сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением равен нулю.

3. Произведите измерения амплитуд напряжений на входе и выходе цепи. Для этого измерьте амплитуду каждого сигнала в делениях шкалы и умножьте полученные значения на цифровую отметку показателя переключателя «Вольт/дел».

4. Рассчитайте коэффициент передачи по формуле (20).

5. Определите сопротивление резистора R₁, используя формулу (25). (R₂=100Ом).

6. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 1.

 

Таблица 1.

U0, В	U1, В	К	R1, Ом

 

Задание 2. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей резистор и конденсатор.

1. Замкните с помощью кнопочного переключателя С на панели кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор С.

2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа при частоте 20кГц.

3. Определите угол сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением. Для этого измерьте в делениях шкалы экрана осциллографа сдвиг фаз по времени между изображениями двух исследуемых сигналов (а) и период колебаний входного сигнала (б) (рис. 6). Разность фаз рассчитайте по формуле:

                                                            (32)

4.

Повторите задания п. 2, 3 при частоте 100кГц.

 

5. По методике, описанной в п.3 задания 1, произведите измерения амплитуд напряжений на входе и выходе цепи при значениях частоты генератора PQ от 20 до 100кГц.

6. Рассчитайте коэффициент передачи К цепи по формуле (20) для всего исследуемого диапазона частот. Постройте график зависимости K=f(ν).

7. С помощью графика зависимости K=f(ν) оцените емкость конденсатора. Для этого нужно воспользоваться линейным участком графика, который в соответствии с формулой (28) при относительно низких частотах (R₂«1/ωC)² хорошо описывается зависимостью:

Определив тангенс угла наклона α линейного участка к оси ν, оцените емкость С по формуле:

8. По формуле (27) рассчитайте разность фаз φ при двух значениях частоты генератора: 20 и 100кГц. Сравните результаты расчета с результатами непосредственного измерения угла φ (п.3,4).

9. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 2.

Таблица 2.

ν, Гц	U0, В	U1, В	К	С, Ф	а, дел	b, дел	φизм, град	Φрасч, град

 

Задание 3. Изучение электрических процессов в цепи, содержащей резистор и конденсатор.

1. Замкните с помощью кнопочного переключателя L на панели кассеты ФПЭ-09 ветвь, содержащую резистор L.

2. Зарисуйте колебания, наблюдаемые на экране осциллографа при частоте 20кГц.

3. Определите угол сдвига фаз между силой тока в цепи и входным напряжением. Для этого измерьте в делениях шкалы экрана осциллографа сдвиг фаз по времени между изображениями двух исследуемых сигналов (а) и период колебаний входного сигнала (б). (рис. 6). Разность фаз рассчитайте по формуле (32).

4. Повторите задания п. 2,3 при частоте 100кГц.

5. По методике, описанной в п.3 задания 1, произведите измерения амплитуд напряжений на входе и выходе цепи при значениях частоты генератора PQ от 20 до 100кГц. Частоту генератора менять с интервалом 10кГц.

6. Рассчитайте коэффициент передачи К цепи по формуле (20) для всего исследуемого диапазона частот. Постройте график зависимости K=f(1/ν).

7. С помощью графика зависимости K=f(1/ν) оцените индуктивность катушки. Для этого нужно воспользоваться линейным участком графика, который в соответствии с формулой (31) при относительно высоких частотах (R₂«ωL)² хорошо описывается зависимостью:

Определив тангенс угла наклона α линейного участка к оси 1/ν, оцените индуктивность катушки L по формуле:

8. По формуле (30) рассчитайте разность фаз φ при двух значениях частоты генератора: 20 и 100кГц. Сравните результаты расчета с результатами непосредственного измерения угла φ (п.3,4).

9. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 3.

Таблица 3.

ν, кГц	1/ν, кГц	U0, В	U1, В	К	С, Ф	а, дел	b, дел	φизм, град	Φрасч, град

 

Контрольные вопросы.

 

1. Дайте определение простых линейных цепей. Какие типы сопротивлений встречаются в цепях переменного тока? Как зависят реактивные сопротивления от частоты протекающего через них тока?

2. Линейная электрическая цепь состоит из последовательно включенных R, L, C и источника напряжения. Выведите выражения для силы тока в контуре, сдвига фаз между током и напряжением, импеданса цепи. Рассмотрите частные случаи, когда цепь содержит: а) только реактивное сопротивление, б) только емкостное сопротивление, в) только индуктивное сопротивление.

3. Дайте определение коэффициента передачи цепи по напряжению. Получите выражения для силы тока в контуре, сдвига фаз между током и напряжением, коэффициента передачи для случаев. Когда линейная цепь состоит из: а) двух резисторов, б) емкости и резистора, в) индуктивности и резистора.

4. Как следует определять tgα в п.7 задания 2 и п.7 задания 3? Можно ли для этих целей использовать транспортир?

 

 

Литература.

 

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т.3. Электричество, М.: Наука, 1977, п. 40-43, 129.

2. Савельев И.В. Курс общей физики, Т.2, Электричество и магнетизм, М.: Наука, 1982, п. 31, 33, 34, 35, 91, 92.

3.  Практикум по физике, Электричество и магнетизм, Под редакцией Николаева Ф.А., М.: Высш. шк., 1991.

 

Работа № 12.

Изучение распространения электромагнитных волн вдоль проводов. Определение длины и частоты электромагнитной волны с помощью электрической двухпроводной линии.

Цель работы: изучать механизм распространения электромагнитных воли вдоль проводов, провести экспериментальное исследование двухпроводной линии (линии Лехера) и с ее помощью определить длину и частоту электромагнитной волны.

Принадлежности: генератор УКВ незатухающих колебании, источник питания (УИП), двухпроводная линия с индуктивной связью, контактный мостик с неоновой лампой, контактный мостик с лампой накаливания.