Пример решения пары двойственных задач

Используя теоремы двойственности, решить двойственную задачу, если известно решение прямой задачи.

                    (12)

Пусть решение задачи найдено одним из стандартных методов: . Построим двойственную задачу:

                 (13)

По первой теореме двойственности задача разрешима, причем . Найдем оптимальный план  задачи (13), используя вторую теорему двойственности. Подставим координаты вектора  в ограничения задачи (12). Получим

Следовательно, в силу УДН, неравенство  должно выполняться как равенство, т. е. . Далее так как , то в силу УДН,

.

Получаем систему линейных уравнений и решаем ее:

Планы  и  удовлетворяют УДН, следовательно, в силу второй теоремы двойственности, являются оптимальными в задачах (12) и (13) соответственно.

Пример проверки вектора на оптимальность

Исследовать вектор  на оптимальность в задаче ЛП.

Вначале нужно проверить, является ли вектор  допустимым. Для этого подставляем координаты вектора в ограничения:

Так как второе ограничение выполняется как строгое неравенство, то в силу УДН для оптимальности вектора  необходимо выполнение равенства .

Построим двойственную задачу:

Поскольку , то из третьего и четвертого ограничений получаем . Но по УДН из условия  следует, что должно выполняться равенство в первом ограничении двойственной задачи:

Подставляя значения  получим  Следовательно, УДН не выполняются и вектор  не является оптимальным в исходной задаче.