Тема 3 Обработка геодезических измерений

3.1 Принципы обработки измерений

Измерения являются важной составной частью геодезических работ, именно из измерений получают качественную информацию о различных объектах, подлежащих изучению. Геодезистам приходится изучать длины линий, горизонтальные и вертикальные углы, превышения между точками местности, температуру воздуха, ускорение свободного падения, интервалы времени и многое другое. Результаты измерений могут использоваться как непосредственно, так и как промежуточные величины для вычисления таких характеристик объекта, которые либо вообще нельзя измерить, либо их измерение требует слишком больших затрат времени и средств.

С точки зрения теории обработки измерений все измерения нужно разделить на необходимые и избыточные. Если количество неизвестных величин равно t, а количество измерений равно n, причем n>t, то t – является необходимым, а (n - t) – избыточным.

Все измерения сопровождаются ошибками и главная задача обработки измерений – устранение противоречий между результатами измерений, содержащими ошибки, и математической моделью, включающей численные значения измеряемых величин.

3.2 Начальные сведения из теории ошибок

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений, точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий.

Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения D - это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением х:

D = l – х. (5)

Свойства случайных ошибок:

а) при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, то считается грубой;

б) положительные и отрицательные ошибки равновозможны;

в) среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений:

(6)

г) малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Средняя квадратичная ошибка одного измерения - СКО

Обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:

, (7)

где , n – количество измерений одной величины.

СКО очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, т.к. каждая ошибка возводится в квадрат.

Доказано, что уже при n = 8, значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается D_пред.; она обычно принимается равной 3m. Считается, что из тысячи измерений только 3 ошибки могут достичь или немного превосходить значение D_пред = 3m.

Отношение m_x/x называется средней квадратичной относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, .

Арифметическая середина

Пусть имеется n измерений одной величины х, то есть

(8)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:

. (9)

Величина называется арифметической серединой.

(10)

Это означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины, а при ограниченном количестве измерений х_о является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

, (11)

т.е. средняя квадратичная ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Веса измерений

Измерения бывают равноточными и неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол измерить разным количеством приемов, результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что СКО неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия, обозначается буквой р.

, (12)

где с – в общем случае произвольное положительное число.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице,

. (13)

3.3 Элементы техники вычислений

3.3.1 Точные и приближенные числа

Точные числа получаются при счете отдельных предметов и понятий. (45 шагов, 27 шариков); масштабные коэффициенты (1м = 100см = 1000мм).

Приближенные числа в геодезии получают, как правило, из измерений; считается, что записанное приближенное число ошибочно не более чем на половину единицы последнего разряда: 2,145 ошибочно на 0,0005, 2145 ошибочно на 0,5 и т.д.

Округление приближенных чисел:

- если первая отбрасываемая цифра больше 5 или 5 с последующими цифрами не равными 0, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (2,461»2,5, 2,4523»2,5);

- если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставляемая цифра не изменяется (2,441»2,4).

- если первая отбрасываемая цифра есть 5 и за ней либо нет цифры, либо есть одни нули, то последняя оставляемая цифра округляется до четной (2,55»2,6, 2,65000»2,6).

3.3.2 Системы единиц для измерения углов:

а) Градусная система. Градус – это 1/90 часть прямого угла; минута – 1/60 часть градуса; секунда – 1/60 часть минуты; 1° = 60' = 3600''.

б) Радианная система.

Радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Полный угол в 360° содержит 2p радианов.

Переход от радианной системы к градусной и обратно:

в ° = b_рад×r°; b_рад = b°/r°;

в ' = b_рад×r'; b_рад = b'/r';

в '' = b_рад×r''; b_рад = b''/r'';

Значения переходного коэффициента r:

r °=57,29578°;

r '=3437,747';

r ''=206264,8'';