Тема 4 Метод проекций

Чтобы изобразить объемный предмет на плоском чертеже, применяют метод проекций. К простейшим проекциям относятся центральная и ортогональная проекции.

 

4.1 Центральная проекция

При центральной проекции (рисунок 3а) проектирование выполняют линиями, исходящими из одной точки, которая называется центром проекции. Пусть требуется получить центральную проекцию четырехугольника АВСD на плоскость проекции р; центр проекции – точка S.

 

 а)                                                                            б)

Рисунок 3 – Центральная и ортогональная проекции

 

Проведем линии проектирования до пересечения с плоскостью проекции, получим точки a, b, c, d, являющиеся проекциями точек A, B, C, D. Плоскость проекции и объект могут располагаться по разные стороны от центра проекции; так при фотографировании центром проекции является оптический центр объектива, а плоскость проекции – фотопластинка или фотопленка.

 

4.2 Ортогональная проекция

При ортогональной проекции линии проектирования перпендикулярны плоскости проекции. Проведем через точки A, B, C, D линии, перпендикулярные плоскости проекции р; в пересечении их с плоскостью р получим ортогональные проекции a, b, с, d соответствующих точек (рисунок 3б).

 

4.3 Горизонтальная проекция

Чтобы изобразить на бумаге участок земной поверхности, нужно выполнить две операции: сначала спроектировать все точки участка на поверхность относимости (на поверхность эллипсоида вращения или на поверхность сферы) и затем изобразить поверхность относимости на плоскости. Если участок местности небольшой, то соответствующий ему участок сферы или поверхности эллипсоида можно заменить плоскостью и считать, что проектирование выполняется сразу на плоскость.

При проектировании отдельных точек и целых участков земной поверхности на поверхность относимости применяется горизонтальная проекция, в которой проектирование выполняют отвесными линиями.

Пусть точки А, В, С находятся на поверхности Земли (рисунок 4). Спроектируем их на поверхность относимости и получим их горизонтальные проекции – точки a, b, c.

 

Рисунок 4 – Горизонтальная проекция

 

Линия ab называется горизонтальной проекцией или горизонтальным проложением линии местности АВ и обозначается буквой S. Угол между линией АВ и ее горизонтальной проекцией АВ` называется углом наклона и обозначается ν.

Расстояния Аа, Вb, Cc от точек местности до их горизонтальных проекций называются высотами или альтитудами точек и обозначается Н (Н_А, Н_В, Н_с); отметка точки – это численное значение ее высоты. Разность отметок двух точек называется превышением одной точки относительно другой и обозначается буквой h:

  h_AB = H_B - H_A                                                                                     (14)

 

4.4 Расчет искажений при замене участка сферы плоскостью

4.4.1 Искажение расстояний

Небольшой участок сферической поверхности при определенных условиях можно принять за плоскость.

Применение модели плоской поверхности при решении геодезических задач возможно лишь для небольших участков поверхности Земли, когда искажения, вызванные заменой поверхности сферы или эллипсоида плоскостью, невелики и могут быть вычислены по простым формулам. Небольшую часть сферы (эллипсоида), отличающуюся от плоскости на величину, меньшую ошибок измерений, можно считать плоской.

Рассчитаем, какое искажение получит дуга окружности, если заменить ее отрезком касательной к этой дуге (рисунок 5).

 

 

Рисунок 5 – Замена сферы плоскостью

 

О – центр окружности, дуга АВС радиусом R стягивает центральный угол .

Проведем касательную через середину дуги в точке В и, продолжив радиусы ОА и ОС до пересечения с касательной, получим точки А` и С`.

Пусть дуга АВС имеет длину D, а отрезок касательной А`С` – длину S. Известно, что для окружности D = R , причем угол  должен быть выражен в радианах.   

Из  имеем

 (6.2)

Разность  обозначим через  и напишем:

                                                                 (15)

 - разложение в ряд

                                                                      (16)

, но

.                                                                                   (17)

Отношение  называется относительным искажением длины дуги при замене её отрезком касательной, оно будет равно

.                                                                                    (18)

Подсчитаем конкретные значения относительного искажения для разных длин дуги D (R = 6400 км):

  D = 20 км, ΔD/D = 1/ 1 218000,

 D = 30 км, ΔD/D = 1/ 541 000, и т.д. 

Достигнутая точность измерения расстояний пока не превышает 1/1000000, поэтому при геодезических работах любой точности участок сферы 20х20 км можно считать плоским. При работах пониженной точности размеры участка сферы, принимаемого за плоскость, можно увеличить.

 

4.4.2 Искажение высот точек

Если заменить небольшой участок сферы касательной плоскостью, то будут искажены не только длины линий, но и отметки точек. Изменения отметок точек симметричны относительно точки В и зависят от удаления от этой точки.

Обозначим отрезок ВС`, равный половине отрезка А`С`, через S. Отметка точки С`, находящейся на плоскости, отличается от отметки точки С, лежащей на сфере, на величину отрезка СС` = р.

Из треугольника ОВС` следует:

, откуда получаем

,                                                                                      (19)

р намного меньше величины 2R, поэтому отбросив ее, мы допустим несущественную ошибку. Таким образом,

.                                                                                          (20)

Влияние кривизны Земли на отметки точек нужно учитывать при любых расстояниях между точками; например, при S = 10 км р = 7,8 м и при S = 100 м р = 0,8 мм.