Применение теоремы Гаусса

 к расчету полей в вакууме (1)

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной

поверхностной плотностью +s (  - заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рас­сматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания кото­рого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей.

Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е_n совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Согласно теореме Гаусса, 2ES = sS/e₀, откуда

Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверх­ностной плотностью s.

Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линий напряженности направлены радиально (рис. а). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4pr²E = Q/e₀, откуда

При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как и у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. б. Если r' <R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности Е = 0.

Применение теоремы Гаусса