Теорема Гаусса для поля в вакууме

Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей

Напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Электрический диполь

Система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.

Плечо диполя

Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.

Электрический момент диполя

Вектор совпадающий по направлению с плечом диполя.

По принципу суперпозиции, напряженность поля диполя в произвольной точке ( — напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами).

Напряженность поля

На продолжении оси диполя

В точке А

l/2<<r, поэтому .

Теорема Гаусса для

Электростатического поля в вакууме

Поток вектора сквозь сферическую поверхность радиуса r

Этот результат справедлив* для замкнутой
поверхности любой формы. Так, если
окружить сферу (см. рисунок) произвола
ной замкнутой поверхностью, то каждая
линия напряженности, пронизывающая
сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Общий случай: произвольная поверхность, окружающая n зарядов

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей , создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому

Каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен . Следовательно,

Теорема Гаусса для поля в вакууме

Лоток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε₀:

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностью , то теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме