Образовательный минимум по геометрии за II четверть

Теоретическая часть.

Четырёхугольники

 

   

Трапеции

Параллелограммы      Параллелограмм

Прямоугольники

Ромбы

Квадраты

       

                                                                                                                                                                         

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма.		Признаки параллелограмма
1. Противолежащие стороны параллелограмма равны. 2.Противолежащие углы параллелограмма равны. 3.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.		1.Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 3.Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Прямоугольником   называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника.		Признаки прямоугольника.
1.Диагонали прямоугольника равны.		1.Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник. 2.Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромбом  называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба.		Признаки ромба.
1.Диагонали ромба перпендикулярны, и являются биссектрисами его углов		1.Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны; либо квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Замечание: исходя из определения, квадрат имеет все свойства прямоугольника и ромба.

 

Теорема 2. Противолежащие стороны параллелограмма равны.

В               С                                                Дано: АВСD - параллелограмм.

А                D                                                Доказать: АВ = СD и ВС = АD.

Доказательство: 1) Проведем диагональ АС;   2) Δ АВС и Δ АСD равны по второму признаку равенства треугольников; 3) Т.о.  АВ = СD.

 

Практическая часть

 

1. В четырёхугольнике АВСD (рис.2) АВ = ВС, АD = DC. Докажите, что углы А и С равны.

рис.2 рис.3 рис.4 рис.5 . 

Параллелограмм

2Найдите углы параллелограмма АВСD  (рис.3).

3. Найдите углы параллелограмма, если:

  а) один из углов на 56° больше другого;   б) в 3 раза меньше другого.

4. Периметр параллелограмма равен 126 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как 4:5.

5. В параллелограмме АВСD АВ = 7 см, АD = 12 см. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите отрезки ВЕ  и ЕС.

6. В четырёхугольнике АВСD (рис.4) АD = ВС, <1 = <2. Докажите, что АВСD – параллелограмм.

Прямоугольник. 

7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.       

8. В прямоугольнике АВСD О – точка пересечения диагоналей. <АОD = 70°. Найдите угол OСD.

9. Перпендикуляры, опущенные из точки пересечения диагоналей прямоугольника на две его соседние стороны, равны 5см и 7см. Найдите периметр прямоугольника.

Ромб.

10. Докажите, что если две соседние стороны параллелограмма равны, то он является ромбом.

11. АВСD - ромб   Найдите угол α.

6. В ромбе АВСD известно, что <С = 140°, а диагонали пересекаются в точке О. Найдите углы ΔАОВ.

12. Отрезки ВF и DE – высоты ромба АВСD Докажите, что BF = DE.

13. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из одной вершины, равен 42°. Найдите углы ромба.

Квадрат

14. Диагональ квадрата равна 4см. Его сторона является диагональю второго квадрата. Найдите сторону второго квадрата.

15. Постройте квадрат, если известно что его периметр равен 24см.

16. Докажите, что прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, является квадратом.

 

Образовательный минимум по геометрии за II четверть.

Теоретическая часть

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины

двух его сторон. Средняя линия треугольника                                                       M          N

1) параллельна третьей стороне; 2) равна её половине.          MN =                           a    

                                                                                                                                                                 b                           

Трапецией     называется четырёхугольник, у которого две стороны                                                                                                                       

называется четырёхугольник, у которого две стороны                                               M                 N

параллельны, а две другие не параллельны. Средняя линия трапеции:                               a                                               

1) параллельна основаниям; 2) равна их полу сумме.                     MN =                                                                                                                                                 

Площади.

a Квадрат         Ромб               Прямоугольник      Параллелограмм   Треугольник         Трапеция                                                                                                                          b                   b b  b                                                                                                              α a                          a                  a                     a                            a                          a                           S = a2 =   S = d1·d2             S = a·b            S = a·h  S = a·h = ab  S = ·h

b

h

d1                    d 2

d

h

b b                                                                                                                                                                                           b

                                                                                                                                                   h

                                      b

                                                                                                                          

a                a                          a                        a                     a                            a                                                      

Практическая часть