Изучение физического маятника

Лабораторная работа № 6

Цель работы: исследование законов колебательного движения физического маятника и определение ускорения свободного падения методом Бесселя.

Приборы и принадлежности: установка FPM-04, линейка.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Физическим маятником (ФМ) называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка О пересечения этой оси (рисунок 1) с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, в отсутствии сил сопротивления, уравнение движения ФМ имеет вид:

(6.1)

где I - момент инерции маятника относительно оси качания,

- угловое ускорение маятника,

m - масса маятника,

l - расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.

Ограничиваясь случаем малых углов () из (6.1) имеем

, (6.2)

где введено обозначение

Нетрудно убедится, что решением записанного дифференциального уравнения (6.2) является функция

т.е. угол j отклонения ФМ от вертикали изменяется по гармоническому закону. Следовательно период колебаний ФМ равен

(6.3)

Как известно, период математического маятника

(6.4)

Сравнивая (6.3) и (6.4) находим, что ФМ колеблется с тем же периодом, что и математический, имеющий длину

(6.5)

Длина математического маятника , имеющего тот же период колебаний, что и данный ФМ, называется приведённой длиной физического маятника.

Точка (рисунок 1), лежащая на прямой, соединяющей точку подвеса и центр тяжести с ФМ, на расстоянии от точки подвеса, называется центром качаний ФМ.

Точка подвеса О и центр качаний ФМ принято называть взаимными точками ФМ, так как они обладают следующим свойством: если перенести точку подвеса маятника в центр качаний, то прежняя точка подвеса станет центром качаний, причём период колебаний ФМ при этом не изменяется. Экспериментальная проверка формул (6.4) и (6.5) составляет одну из задач данной работы.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

В данной работе используется универсальный маятник FPM-04, изображённый на рисунке 2. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание установки. В основании закреплена колонна 3, на которой зафиксирован верхний кронштейн 4, с одной стороны которого находится математический маятник 7, с другой - оборотный маятник 8 и нижний кронштейн 5 с фотоэлектрическим датчиком 6, перемещающийся вдоль колонны и фиксирующийся в произвольно избранном положении. Длину математического маятника можно регулировать при помощи воротника 9, а её значение можно регулировать при помощи шкалы на колоне 3.

Физический маятник выполнен в виде однородного стального стержня, по которому можно перемещать и фиксировать в любом положении две повёрнутые друг к другу опорные призмы 10 и два ролика 11 (оборотный маятник). Фотоэлектрический датчик соединён с привинченным к основанию универсальным миллисекундомером 12, имеющим два цифровых индикатора для показаний времени и числа колебаний.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Упражнение 1 Проверка формулы периода колебаний иопределение приведённой длины физического маятника

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

Получим формулы (6.4) и (6.5) для ФМ, выполненного в виде тонкого однородного стержня массой m и длины l (рисунок 3). Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости рисунка, равен . По теореме Штейнера находим, что момент инерции стержня относительно оси качаний

(6.6)

Подставим (6.6) в (6.4) и (6.5), приходим к соотношению

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

удобном для анализа и экспериментальной проверки. В частности, из анализа на экстремум функции (6.7) следует, что при

(6.11)

период Т физического маятника является минимальным.

ВЫПОЛНЕНИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1

1. При помощи регулируемых ножек 2 (рисунок 2) установить колонну 3 в вертикальном положении, принимая шарик математического маятника в качестве отвеса.

2. Снять со стержня ФМ оба ролика в одну призму и определять время t 10- 15 полных колебаний стержня при произвольном положении второй призмы. Для этого необходимо отклонить стержень на угол - нажать клавишу ПУСК.

3. При том же положении опорной призмы повторить измерения, описанные в пункте 2, 5-10 раз. Результаты измерений занести в таблицу 1 и обработать, определив .

4. По формуле , где N- число полных колебаний стержня, рассчитать период колебаний ФМ и его погрешность.

5. Измерив длину стержня h и расстояние l от точки подвеса до центра тяжести, проверить справедливость формулы (6.8). При проверке равенства (6.8) необходимо учесть погрешность измерений.

6. Пользуясь формулой (6.10) по измеренным в пункте (5) значениям l и h рассчитайте приведённую длину ФМ.

7. Повернув верхний кронштейн 4 установки на и установить длину математического маятника и, аналогично пунктам 2-4, определить период колебаний математического маятника.