Уравнения передачи и параметры четырехполюсников

Четырехполюсником называют электрическую цепь произвольной топологии, имеющую две пары зажимов (полюсов), для подключения к источнику (генератору) сигнала и нагрузке. Первая пара зажимов считается входной, а вторая – выходной. Любую физическую цепь, включенную между источником и приемником сигнала, можно рассматривать как четырехполюсник, который условно изображают в виде прямоугольника, как показано на рис. 11.1. Пусть на входе четырехполюсника, т.е. на зажимах 1-1^′, действует источник гармонического напряжения U _г, имеющий внутреннее комплексное сопротивление Z _г, а на выходе (зажимы 2-2^′ ) подключена нагрузка   Z _н (рис. 5.1). При таком включении четырехполюсника он будет работать в гармоническом режиме и для его анализа можно использовать символический метод. Тогда на его входе будет действовать комплексное напряжение U ₁, а на выходе напряжение U ₂. Через входные зажимы четырехполюсника будет протекать комплексный ток I ₁, а через выходные ток I ₂.

                                                                  Рис. 11.1

      Уравнения, связывающие между собой комплексные напряжения и токи на входных и выходных зажимах четырехполюсника, называют уравнениями передачи. Далее будем рассматривать линейные четырехполюсники, которые создают токи и напряжения на выходных зажимах лишь при действии источника входного сигнала. Поскольку уравнения передачи устанавливают соотношения между четырьмя величинами (токи и напряжения на входе и выходе), то всего можно составить шесть уравнений передачи (число сочетаний из четырех по два).

       При воздействии комплексных токов I ₁ и I ₂, используя принцип наложения (суперпозиции), который справедлив для линейных электрических цепей, можно записать уравнения передачи для комплексных напряжений U ₁ и U ₂, являющихся реакцией четырехполюсника на эти воздействия в виде:

                                                                              (11.1)

Уравнения (11.1) связывают напряжения и токи. Размерные коэффициенты в правой

части уравнений (11.1) отражают вклад воздействий источников тока на напряжения четырехполюсника и называются параметрами четырехполюсников или

Z − параметрами. Различают еще пять форм уравнений передачи в системах , , F −, и В − параметров. Уравнения, которые устанавливают связь между воздействием напряжений и реакцией четырехполюсника в виде токов, имеют следующий вид

                                            (11.2)

Эти уравнения имеют коэффициенты в виде комплексных проводимостей или Y − параметров.

Остальные виды уравнений передачи приведены в матричной форме записи уравнений (11.3)

Все эти уравнения передачи равноправны, однако уравнения в параметрах называют основными или обобщенными, поскольку они связывают параметры входа и выхода четырехполюсника. Из уравнений легко получить размерность коэффициентов, имея в виду, что размерности левой и правой частей уравнений должны совпадать. Например, для первого уравнения передачи с А − параметрами   U ₁ = A ₁₁ U ₂ + A ₁₂ I ₂  размерность левой части вольты, тогда, чтобы получить такую же размерность правой части уравнения, параметр А ₁₁ должен быть безразмерным, а размерность параметра A ₁₂ должна быть омы, поскольку [В] = [Ом]∙[А]. Аналогично находятся размерности других параметров.

      Коэффициенты уравнений передачи называются внутренними или собственными параметрами четырехполюсника, поскольку характеризуют собственно четырехполюсник, не зависимо от внешних цепей, между которыми он может быть включен. Так как различные параметры характеризуют один и тот же четырехполюсник, то они однозначно связаны друг с другом, т.е. зная одну систему параметров всегда можно найти все остальные. Опытным путем значения параметров находят из двух режимов работы четырехполюсника: режима холостого хода (зажимы разомкнуты) по входу или по выходу и режима короткого замыкания (зажимы замкнуты) по входу или по выходу (всего четыре схемы включения). Выбирают две схемы включения, в зависимости от того, какие параметры надо найти. Например, на рис. 5.2. показаны структурные схемы включения четырехполюсника в режиме короткого замыкания по выходу и по входу для определения Y − параметров.

                                                                  Рис. 5.2

       Очевидно, для этих схем включения напряжение на выходе и входе четырехполюсника будет равно нулю, так как сопротивление короткого замыкания равно нулю и в соответствии с законом Ома произведение тока на нулевое сопротивление будет равно нулю.    В этом случае для уравнений передачи с Y − параметрами (5.2) получим следующие значения этих параметров

Можно заметить, что выбор схем включения четырехполюсника для определения параметров определяется формой уравнения передачи четырехполюсника.

Для обобщенных параметров справедливо соотношение , т.е. лишь три этих параметра независимы. Уравнения связи различных параметров можно найти путем преобразования одной системы уравнений передачи в другую. Тогда коэффициенты правой части преобразованных уравнений будут определять эту связь. Например, известны Z – параметры требуется определить H – параметры. Преобразуем систему уравнений (5.1) к виду системы уравнений с H – параметрами (5.3). Подставляя из второго уравнения (5.1) в первое уравнение значение I ₂, находим  . Далее из второго уравнения получим  . Сравнивая эти уравнения с системой уравнений с H – параметрами определяем уравнения связи: = H ₁₂, = H ₁₁, = H ₂₁, = H ₂₂.