2020-10-12
149
Резонансом называют такое состояние пассивной электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и входным напряжением равен нулю. При этом входное реактивное сопротивление и/или входная реактивная проводимость цепи равны нулю.
Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкостный элементы, соединённые последовательно (последовательный контур)или параллельно (параллельный контур). В последовательном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном – резонанс токов.
Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной.
На рис.10.17 изображена схема последовательного контура, к которому приложено гармоническое напряжение с частотой 
.
Рис. 10.1
Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте
. (10.1)
|
|
|
При резонансе 
или 
, отсюда получаем уравнение резонансной частоты 
: 
(10.2)
На резонансной частоте сопротивление контура носит чисто резистивный характер, т. е. 
, ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения 
. Сопротивления индуктивности и емкости на резонансной частоте 
равны друг другу:
. (10.3)
Величина 
носит название характеристического сопротивления контура.
Резонансные свойства контура характеризуются его добротностью, которая в общем случае определяется как:
. (10.4)
Отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (
и 
) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:
. (10.5)
Таким образом, добротность 
показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение на резонансной частоте.
На рис. 10.2 изображены зависимости 
, 
, определяемые формулами:
, 
. (10.6)
Рис. 10.2
Из представленных характеристик следует, что при 
цепь имеет ёмкостный характер 
и ток опережает по фазе приложенное напряжение, при 
характер цепи индуктивный 
и ток отстаёт по фазе от приложенного напряжения; при 
наступает резонанс напряжений 
и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принимает при резонансе минимальное значение 
.
|
|
|
Зависимость действующего значения тока от частоты определяется уравнением:
. (10.7)
Анализ зависимости 
показывает, что она достигает максимума при резонансе 
.
Степень отклонения частоты воздействия от резонансной частоты принято оценивать абсолютной, относительной и обобщённой расстройками. Расстройки определяются следующим образом:
абсолютная 
или 
;
относительная 
; (10.8)
обобщённая 
.
Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания. В общем случае абсолютной полосой пропускания называют диапазон частот, в пределах которого резонансная характеристика уменьшается в 
раз по сравнению с ее максимальным значением. Абсолютная полоса пропускания 
, где 
и 
- нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания:
. (10.9)
Из вышеизложенного следует, что на границе полосы пропускания 
и 
.
Абсолютную и относительную полосу пропускания 
можно выразить через добротность 
(10.10)
Формула (10.10) показывает, что чем выше добротность 
, тем меньше полоса пропускания и наоборот. Следует отметить, что подключение к контуру сопротивления нагрузки приводит к увеличению резистивных потерь контура и, следовательно, к уменьшению его добротности и расширению полосы пропускания.
Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях 
и 
имеет вид, изображённый на рис. 10.3.
Рис. 10.3
Комплексная входная проводимость такого контура
, (10.11)
где 
; 
- комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и ёмкостью соответственно.
Из условий резонанса токов имеем: 
. Отсюда следует:
. (10.12)
Решив (10.12) относительно 
, получим уравнение резонансной частоты:
. (10.13)
Из уравнения (10.13) следует, что резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае, когда подкоренное выражение положительно (
и 
, или 
и 
).
Наибольший практический интерес представляет резонанс токов в контурах с малыми потерями. В этом случае уравнение резонансной частоты примет вид (10.2), т.е. совпадает с выражением для последовательного контура. Эквивалентное сопротивление такого контура стремится к бесконечности, и входной ток стремится к нулю. Эквивалентное резонансное сопротивление будет равно
, где 
. (10.14)
Тогда действующие значения токов в ветвях равно
. (10.15)
Из уравнений (3.76) и (3.78) следует, что отношение токов в ветвях к току в неразветвлённой части цепи на резонансной частоте равно добротности контура:
, (10.16)
т.е. токи в реактивных элементах 
и 
при резонансе в 
раз больше тока на входе контура. Поэтому в параллельном контуре наблюдается резонанс токов. Резонансная кривая обратно-пропорциональна кривой, изображенной на рис. 10. 2.
|
|
|
Лекция 6
