Резонансы в электрических цепях

Резонансом называют такое состояние пассивной электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и входным напряжением равен нулю. При этом входное реактивное сопротивление и/или входная реактивная проводимость цепи равны нулю.

Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкостный элементы, соединённые последовательно (последовательный контур)или параллельно (параллельный контур). В последовательном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном – резонанс токов.

Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной.

На рис.10.17 изображена схема последовательного контура, к которому приложено гармоническое напряжение с частотой .

Рис. 10.1

Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте

. (10.1)

При резонансе или , отсюда получаем уравнение резонансной частоты : (10.2)

На резонансной частоте сопротивление контура носит чисто резистивный характер, т. е. , ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения . Сопротивления индуктивности и емкости на резонансной частоте равны друг другу:

. (10.3)

Величина носит название характеристического сопротивления контура.

Резонансные свойства контура характеризуются его добротностью, которая в общем случае определяется как:

. (10.4)

Отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах ( и ) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:

. (10.5)

Таким образом, добротность показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение на резонансной частоте.

На рис. 10.2 изображены зависимости , , определяемые формулами:

, . (10.6)

Рис. 10.2

Из представленных характеристик следует, что при цепь имеет ёмкостный характер и ток опережает по фазе приложенное напряжение, при характер цепи индуктивный и ток отстаёт по фазе от приложенного напряжения; при наступает резонанс напряжений и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принимает при резонансе минимальное значение .

Зависимость действующего значения тока от частоты определяется уравнением:

. (10.7)

Анализ зависимости показывает, что она достигает максимума при резонансе .

Степень отклонения частоты воздействия от резонансной частоты принято оценивать абсолютной, относительной и обобщённой расстройками. Расстройки определяются следующим образом:

абсолютная или ;

относительная ; (10.8)

обобщённая .

Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания. В общем случае абсолютной полосой пропускания называют диапазон частот, в пределах которого резонансная характеристика уменьшается в раз по сравнению с ее максимальным значением. Абсолютная полоса пропускания , где и - нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания:

. (10.9)

Из вышеизложенного следует, что на границе полосы пропускания и .

Абсолютную и относительную полосу пропускания можно выразить через добротность (10.10)

Формула (10.10) показывает, что чем выше добротность , тем меньше полоса пропускания и наоборот. Следует отметить, что подключение к контуру сопротивления нагрузки приводит к увеличению резистивных потерь контура и, следовательно, к уменьшению его добротности и расширению полосы пропускания.

Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях и имеет вид, изображённый на рис. 10.3.

Рис. 10.3

Комплексная входная проводимость такого контура

, (10.11)

где ; - комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и ёмкостью соответственно.

Из условий резонанса токов имеем: . Отсюда следует:

. (10.12)

Решив (10.12) относительно , получим уравнение резонансной частоты:

. (10.13)

Из уравнения (10.13) следует, что резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае, когда подкоренное выражение положительно ( и , или и ).

Наибольший практический интерес представляет резонанс токов в контурах с малыми потерями. В этом случае уравнение резонансной частоты примет вид (10.2), т.е. совпадает с выражением для последовательного контура. Эквивалентное сопротивление такого контура стремится к бесконечности, и входной ток стремится к нулю. Эквивалентное резонансное сопротивление будет равно

, где . (10.14)

Тогда действующие значения токов в ветвях равно

. (10.15)

Из уравнений (3.76) и (3.78) следует, что отношение токов в ветвях к току в неразветвлённой части цепи на резонансной частоте равно добротности контура:

, (10.16)

т.е. токи в реактивных элементах и при резонансе в раз больше тока на входе контура. Поэтому в параллельном контуре наблюдается резонанс токов. Резонансная кривая обратно-пропорциональна кривой, изображенной на рис. 10. 2.