Кривые второго порядка

Рассмотрим линии, уравнение которых в декартовой системе координат являются алгебраическими уравнениями второй степени, т.е. будем рассматривать алгебраические кривые второго порядка.

Общее уравнение кривых второго порядка:

Нормальное уравнение окружности радиуса  с центром в точках  и  соответственно имеет вид:

Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса):

где   и  – оси эллипса:

 и  – фокусы эллипса, если

Каноническое уравнение гиперболы (оси координат совпадают с осями гиперболы):

,

где  и  – соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы;

 и  – фокусы эллипса, если .

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:

 (если она симметрична относительно оси ), или ,  (если она симметрична относительно оси

Задача 3.

Определить расположение и вид следующих кривых второго порядка:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Решение:

1)

Выделим полные квадраты

Это уравнение эллипса, центр которого лежит в точке , а полуоси равны

2)

Это уравнение кривой, выродившейся в точку

3)

Уравнение является уравнением гиперболы с центром в точке  и полуосями, равными ; .

4)

Это уравнение является уравнением пары прямых , , пересекающих в точке

5)

Это уравнение является уравнением параболы с осью симметрии, параллельными влево, с вершиной  и фокальным параметром  

6)

Полученное уравнение является уравнением параболы с осью симметрии, направленными вверх, с вершиной  и фокальным параметром