Рассмотрим решения типовых заданий по теме

«Линейная алгебра»

Задание 1.

Даны две матрицы и . Найти: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

а) Произведение имеет смысл, так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой определяются по формуле

Имеем

б) Вычислим

Очевидно, что ;

в) Матрица называется обратной по отношению к матрице , если , где – единичная матрица

Обратная матрица матрицы имеет вид , где

, т.е. матрица невырожденная, и, значит, существует матрица . Находим: , ,

, , , ,

, , .

Тогда

г) Имеем:

Задание 2.

Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить её:

а) по формулам Крамера;

б) методом Гауса.

Решение:

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдём ранг данной матрицы

и ранг расширенной матрицы .

Для этого умножим первую строку матрицы на и сложим со второй, затем умножим первую строку на и сложим с третьей, поменяем местами второй и третьи столбцы.

Получим:

~ ~ .

Следовательно, , т.е. числу неизвестных. Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а) по формулам Крамера

; ;

, , ,

, находим ; .

б) Решим систему методом Гаусса.

Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим

; ;

Задание 3.

Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить её:

а) по формулам Крамера;

б) методом Гаусса.

Решение:

Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера-Капелли. В расширенной матрице меняем третий и первый столбцы местами, умножаем первую строку на и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на и прибавляем к третьей, из второй строки вычитаем третью:

~ ~ ~

, .

Согласно теореме Кронекера-Капелли из того, что следует несовместность исходной системы.

Задание 4.

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

Решение:

Определитель системы , поэтому система имеет единственное нулевое решение:

Задание 5.

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

Решение:

Т.к. , то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку , , возьмём любые два уравнения системы (например, 1-е и 2-е) и найдем её решение. Имеем:

Т.к. определитель из коэффициентов при неизвестных и не равен , то в качестве базисных неизвестных возьмём и (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с в правые части уравнений: