2020-10-12
162
Будем говорить, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат, если задан единичный (масштабный) отрезок, а также пара взаимно перпендикулярных осей. Обычно горизонтальную ось называют осью абсцисс, вертикальную ось – осью ординат. Точку О пересечения этих осей будем называть началом координат.
Введение на плоскости декартовой прямоугольной системы координат позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар действительных чисел. Это соответствие дает возможность сводить изучение множеств точек плоскости к изучению множеств пар действительных чисел, т.е. применять к изучению вопросов геометрии алгебраические методы.
Рассмотрим расстояние (
) между двумя точками 
и 
плоскости находятся по формуле:
Координаты 
точки 
, делящей отрезок с концами 
и 
в отношении 
находятся по формуле:
Координаты 
точки 
– середины отрезка с концами 
и 
находятся по формуле:
Уравнение прямой:
а) с угловым коэффициентом 
и начальной ординатой 
: 
;
б) проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом 
) через данную точку 
: 
;
в) проходящей через две данные точки 
и 
:
г) с угловым коэффициентом 
д) в отрезках: 
(
и 
– соответственно отрезки, отсекаемые на осях 
и 
);
е) Общее уравнение прямой: 
Рассмотрение 
от точки 
до прямой 
находится по формуле:
Если две прямые заданы уравнениями 
и 
или 
и 
, то угол 
между прямыми находится из соотношения 
или 
.
Условие параллельности двух прямых:
или 
Условие перпендикулярности двух прямых:
или 
Точка пересечения двух прямых находится из решения системы:
или 
Задача 1.
Даны величины 
. 
Составить уравнения:
а) сторон треугольника;
б) медианы, высоты и биссектрисы проведенных из вершины 
.
Решение:
а) Составим уравнение стороны 
точек 
. Подставим координаты в уравнение 
.
. Преобразуем это равенство.
или 
Для стороны 
имеем равенство
или 
.
Аналогично, сторона 
задается уравнением 
или 
б) Найдем уравнение медианы 
, где 
– середина отрезка 
Угловой коэффициент к прямой 
Медиана имеет 
проходит через точку 
. Получим уравнение медианы : 
или 
Найдем уравнение высоты 
Угловой коэффициент прямой 
На основании угловая перпендикулярности двух прямых 
Уравнение высоты 
примет вид:
или 
Найдем уравнение биссектрис 
. По свойству биссектрисы расстояния ее от любой точки 
до сторон 
и 
равны, получим
Записанному уравнению удовлетворяют два: 
и 
.
Чертежу задачи удовлетворяет второе уравнение, так как биссектриса 
образует тупой угол с осью 
Задача 2.
В , заданном координатами своих вершин: 
Найти:
а) длину медианы 
, проведенной из вершины 
;
б) длину высоты 
, опущенной из вершины 
;
в) точку пересечения медианы 
и высоты 
.
Решение:
Сделаем схематический чертеж 
. Определим координаты точки 
, как точки, делящей отрезок пополам:
, 
Длину медианы определим по формуле расстояния между двумя точками и 
:
Составим уравнение стороны 
используя уравнение прямой, проходящей через две точки и 
, а длину определим по формуле расстояния точки до прямой :
Составим уравнение медианы 
, используя уравнение прямой, проходящей через две точки и :
Уравнение высоты 
составим по точке и угловому коэффициенту 
. Угловой коэффициент прямой 
, следовательно, угловой коэффициент прямой , перпендикулярной к , равен 
. Уравнение прямой 
имеет вид:
Для определения искомой точки 
пересечения медианы и высоты решаем систему уравнений:
При решении находим, что 
