Основные правила дифференцирования

Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Основные правила:

Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е. , где ,  – дифференцированные функции.

Постоянный множитель  можно выносить за знак производной.

Производные от произведения и частного равны соответственно

 и  при условии, что функция

отлична от нуля в рассматриваемой точке.

Определение: Пусть , , причем область изменения второй функции входит в область определения первой. Тогда  является сложной функцией независимой переменной ,  – промежуточная переменная.

Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению этой функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной

При нахождении производных функций полезно знать формулы дифференцирования основных элементарных функций

1.                      

2.                                         

3.                                           

4.                           

5.                            

6.                     

                                       

7.                

8.                                      

9.                                     

10.                                    

11.                                       

12.                                     

13.                                 

14.                                          

15.                                  

16.                                 

Если зависимость между  и  задана в неявной форме уравнением , то для нахождения производной функции  необходимо продифференцировать по  обе части данного уравнения, рассматривая  как функцию от . Из полученного уравнения первой степени (относительно ) находится .

Если функция аргумента  задана параметрически уравнениями  и , то .

Пример 1.

Найти производные функций:

а)

б)

Пример 2.

Найти производную от функции, заданной неявно:

 Продифференцируем обе части данного уравнения по . Получим  Решим последнее уравнение относительно , получим .

Пример 3.

Найти производную функции, заданную параметрически:

Т.к. , то получим .

Пусть  дифференцируема в точке .

Определение: Дифференциалом функции  в точке  называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

Дифференциал функции  обозначается через  или . Из определения следует, что .

Дифференциал функции  в точке  равен произведению производной функции в этой точке на дифференциал независимой переменной.

Из определения дифференциала следует также, что нахождение производных или дифференциалов по существу представляет собой одну и ту же задачу.