Распределение Максвелла
Цель работы: применение распределения Максвелла для расчета частоты ионизации атомов электронным ударом
Теоретическое введение
Статистика Максвелла – распределение по скоростям (кинетическим энергиям) частиц физической системы, находящейся в состоянии равновесия, в отсутствие внешних полей при условии, что движение частиц подчиняется законам классической механики. Функция распределения позволяет рассчитать относительное количество частиц dN/N, скорости которых окажутся около значения :
. (1)
Распределение Максвелла не зависит от конкретных особенностей взаимодействия частиц и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно описание с помощью классической физики. Классический подход применим при температурах Т частиц, значительно превышающих температуру вырождения Тg:
, (2)
где m – масса частицы, n – концентрация частиц, k = 1,38×10-23 Дж/К – постоянная Больцмана, h = 6,626×10-34 Дж×с – постоянная Планка. Например, чтобы определить, можно ли применить распределение Максвелла к электронному газу, в критерий (2) следует подставить массу и концентрацию электронов.
|
|
В случае многоатомных молекул распределение Максвелла имеет место для движения их центров масс и не зависит от внутримолекулярного движения, даже в том случае, когда для описания последнего необходимо использовать законы квантовой механики.
Различают функции распределения (ФР) Максвелла по компоненте скорости j(vx), по модулю скорости F (v) и по кинетической энергии частицы F (E).
1) ФР по компоненте скорости частиц:
, (3)
2) ФР по модулю скорости частиц:
, (4)
Функция F (v) имеет локальный максимум при скорости , называемой наиболее вероятной.
3) ФР по кинетическим энергиям частиц E = mv 2/2:
, (5)
Чтобы перейти от распределения по модулю скорости (4) к распределению по кинетическим энергиям (5), необходимо не только подставить известное соотношение между скоростью и кинетической энергией поступательного движения частицы
, (6)
но и учитывать связь функций распределения при замене аргумента:
. (7)
В электронике для энергии часто используют не единицу системы СИ (Джоуль), а внесистемную единицу – электронвольт (эВ). 1 эВ = 1,6×10-19 Дж – энергия, которую приобретает электрон, пройдя в электрическом поле ускоряющую разность потенциалов 1 В. Если применить (5) к электронам, выразив их кинетические энергии и температуру в эВ, т.е. произвести замены: E [Дж] ® eE [эВ], kT [Дж] ® eTe [эВ], распределение (5) принимает вид:
|
|
. (5а)
Максвелл использовал для обоснования распределений (3) – (5) принцип детального равновесия: каждый микропроцесс в системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, протекает с той же скоростью, что и микропроцесс, обратный ему.
Прямой процесс при упругом столкновении двух частиц заключается в скачкообразном изменении их скоростей: , где v 1, v 2 – скорости первой и второй частиц перед столкновением, v 3, v 4 – скорости этих же частиц после столкновения. При этом должна сохраняться суммарная кинетическая энергия столкнувшихся частиц:
. (8)
Обратный процесс: , - в данном случае начальные и конечные значения скоростей сталкивающихся частиц меняются местами.
Из формулировки принципа детального равновесия следует уравнение, связывающее значения ФР для скоростей двух частиц, соответствующих начальному и конечному состояниям столкновительного процесса:
. (9)
Максвелл доказал, что ФР , удовлетворяющая уравнению (9) при условии сохранения энергии (8), имеет вид (3). При помощи распределения Максвелла можно вычислить среднее значение любой функции скорости G (v) или энергии U (E) частиц:
, . (10)
Наиболее простые примеры усреднения по ФР:
- cредняя квадратичная скорость vms:
- средний модуль скорости va: .
Дж. Дж. Томсон описал процесс ионизации атомов газа электроном с помощью найденной теоретически зависимости частоты ионизации n i от кинетической энергии электрона E:
, (11)
в которой a 0 = 5,29×10-11 м – радиус атома водорода, W H = 13,6 эВ – энергия ионизации атома водорода, Wa – энергия ионизации атома в эВ, na - концентрация атомов газа, e = 1,6×10-19 Кл, m = 9,1×10-31 кг – заряд и масса электрона, кинетическую энергию электрона E в формулу (11) следует подставлять в эВ.
Частотой ионизации называется количество ионизаций атомов, производимых одним электроном в единицу времени; физическая размерность этой величины 1/с. Однако, поскольку кинетические энергии электронов разные, чтобы количественно описать процесс ионизации атомов при столкновениях с электронами, необходимо усреднить частоту ионизации, используя функцию распределения электронов по энергиям:
(12)
Обычно для таких вычислений используют методы численного интегрирования, реализация в среде Mathcad позволяет не только рассчитать среднюю величину, но и исследовать ее зависимость от какого-либо параметра, например, от температуры электронов Te.