Линейные операции над векторами

Элементы матричного анализа.

Тема 4. Векторы на плоскости и в пространстве.

Понятие вектора.

Раздел математики, изучающий свойства векторов и правила действий над ними, называется векторной алгеброй, ее основы были созданы в работах Грассмана (Германия) и Гамильтона (Англия) и связаны с математическим описанием ряда физических величин и процессов.

Существует два подхода к пониманию понятия «вектор».

Первый подход используется в физике и технических науках и рассматривается уже в рамках школьной программы математики и физики.

Различают два вида величин - скалярные и векторные. Если некоторая величина определяется числовым значением, то её называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить масса, плотность, температура. Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление и т.д. Если при определении некоторой величины для её полной характеристики, кроме числового значения, надо знать её направление, то такая величина называется векторной.

Def. Вектор – это показатель, характеризуемый тремя признаками:

- величиной (количественная характеристика),

- размерностью (качественная характеристика),

- направлением в пространстве.

Геометрически вектор описывается в форме направленного отрезка.

Обозначение: или (А -начало, В - конец вектора)

Примерами векторных величин в физике и технике являются сила, скорость, ускорение, ток, напряженность электрического или магнитного полей и.т.п.

Чтобы задать вектор, необходимо указать: длину (модуль) вектора, систему координат, направление вектора в этой системе координат.

Def. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается .

Второй подход появился позже и широко используется в биологии и экономике для описания объектов, характеризующихся многими показателями. Для специалистов в сфере экономики и управления этот подход представляет особый интерес. С этой точки зрения вектор – это упорядоченное множество чисел (кортеж), описывающее совокупность свойств изучаемого объекта (предприятия, изделия, потребителя и.т.п.),т.е.

Виды векторов

Def. Нулевым вектором называетсявектор, модуль которого равен нулю (нулевой вектор направления не имеет). Обозначается нулевой вектор .

Def. Единичным вектором называется вектор, имеющий модуль, равный единице. Обозначается единичный вектор .

Def. Два вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными (записывают ). Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

- коллинеарные векторы.

Def. Коллинеарные векторы, имеющие одинаковую ориентацию, называются сонаправленными, а противоположную ориентацию - противоположно направленными.

Def. Векторы называются равными (), если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковые модули.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

Def. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

Def.Линейными называются операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число (скаляр).

Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора

Тогда:

1) суммой векторов называется вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго (правило треугольника)

Вектор суммы можно найти по правилу параллелограмма:

суммой векторов называется вектор , который соответствует диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах как на сторонах.

При суммировании более двух векторов используют правило многоугольника:

(правило многоугольника)

2) разностью векторов называется вектор такой, что

Вектор направлен в сторону уменьшаемого.

3) произведением вектора на число (скаляр) l называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору и имеет направление, вектора , если l>0 и противоположное направление, если l<0.